الطرق الثلاثة الأكثر شيوعًا لحل أنظمة المعادلة هي الاستبدال والحذف والمصفوفات المعززة. الاستبدال والحذف طريقتان بسيطتان يمكنهما حل معظم أنظمة المعادلتين بشكل فعال في بضع خطوات مباشرة. تتطلب طريقة المصفوفات المعززة خطوات أكثر ، لكن تطبيقها يمتد إلى مجموعة أكبر من الأنظمة.
الاستبدال
التعويض هو طريقة لحل أنظمة المعادلات عن طريق إزالة جميع المتغيرات باستثناء واحد منها في إحدى المعادلات ثم حل هذه المعادلة. يتم تحقيق ذلك عن طريق عزل المتغير الآخر في معادلة ثم استبدال قيم هذه المتغيرات في معادلة أخرى. على سبيل المثال ، لحل نظام المعادلات س + ص = 4 ، 2 س - 3 ص = 3 ، اعزل المتغير س في الأول المعادلة للحصول على x = 4 - y ، ثم استبدل قيمة y هذه في المعادلة الثانية للحصول على 2 (4 - y) - 3y = 3. يتم تبسيط هذه المعادلة إلى -5y = -5 أو y = 1. عوّض بهذه القيمة في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة x: x + 1 = 4 أو x = 3.
إزالة
الحذف هو طريقة أخرى لحل أنظمة المعادلات عن طريق إعادة كتابة إحدى المعادلات من حيث متغير واحد فقط. تحقق طريقة الحذف ذلك عن طريق إضافة أو طرح معادلات من بعضها البعض لإلغاء أحد المتغيرات. على سبيل المثال ، فإن إضافة المعادلتين x + 2y = 3 و 2x - 2y = 3 ينتج عنه معادلة جديدة ، 3x = 6 (لاحظ أنه تم إلغاء شروط y). ثم يتم حل النظام باستخدام نفس طرق الاستبدال. إذا كان من المستحيل إلغاء المتغيرات في المعادلات ، فسيكون من الضروري ضرب المعادلة بأكملها في عامل لجعل المعاملات متطابقة.
المصفوفة المعززة
يمكن أيضًا استخدام المصفوفات المعززة لحل أنظمة المعادلات. تتكون المصفوفة المعززة من صفوف لكل معادلة وأعمدة لكل متغير وعمود معزز يحتوي على المصطلح الثابت على الجانب الآخر من المعادلة. على سبيل المثال ، المصفوفة المعززة لنظام المعادلات 2x + y = 4 ، 2x - y = 0 هي [[2 1] ، [2 -1]... [4 ، 0]].
تحديد الحل
تتضمن الخطوة التالية استخدام عمليات الصف الأولية مثل ضرب أو قسمة صف على ثابت آخر غير الصفر وإضافة أو طرح الصفوف. الهدف من هذه العمليات هو تحويل المصفوفة إلى شكل مستوى الصف ، حيث يكون الإدخال الأول غير الصفري في كل صف هو 1 ، إدخالات يوجد أعلى وأسفل هذا الإدخال جميع الأصفار ، ويكون الإدخال الأول غير الصفري لكل صف دائمًا على يمين كل هذه الإدخالات في الصفوف فوقها. شكل الصفوف للمصفوفة أعلاه هو [[1 0] ، [0 1]... [1 ، 2]]. يتم إعطاء قيمة المتغير الأول بالصف الأول (1x + 0y = 1 أو x = 1). يتم إعطاء قيمة المتغير الثاني من خلال الصف الثاني (0x + 1y = 2 أو y = 2).
التطبيقات
الاستبدال والحذف هما طريقتان أبسط لحل المعادلات ويستخدمان بشكل متكرر أكثر من المصفوفات المعززة في الجبر الأساسي. تكون طريقة الاستبدال مفيدة بشكل خاص عندما يكون أحد المتغيرات معزولًا بالفعل في إحدى المعادلات. طريقة الحذف مفيدة عندما يكون معامل أحد المتغيرات هو نفسه (أو ما يعادله السلبي) في جميع المعادلات. الميزة الأساسية للمصفوفات المعززة هي أنه يمكن استخدامها لحل أنظمة من ثلاث معادلات أو أكثر في المواقف التي يكون فيها الاستبدال والحذف إما غير ممكن أو مستحيل.