يساعد تحليل كثير الحدود علماء الرياضيات في تحديد أصفار أو حلول دالة. تشير هذه الأصفار إلى تغييرات حاسمة في معدلات الزيادة والنقصان وتبسيط عملية التحليل بشكل عام. بالنسبة إلى كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة أو أعلى ، مما يعني أن الأس الأعلى في المتغير هو ثلاثة أو أكبر ، يمكن أن يصبح التحليل العوملي أكثر إرهاقًا. في بعض الحالات ، تقوم طرق التجميع بتقصير الحساب ، ولكن في حالات أخرى قد تحتاج إلى معرفة المزيد عن الوظيفة ، أو كثير الحدود ، قبل أن تتمكن من المضي قدمًا في التحليل.
حلل كثير الحدود للنظر في التحليل من خلال التجميع. إذا كان كثير الحدود في الشكل حيث يتم إزالة العامل المشترك الأكبر (GCF) من يكشف المصطلحان الأولين والشرطان الأخيران عن عامل مشترك آخر ، يمكنك استخدام التجميع طريقة. على سبيل المثال ، دع F (x) = x³ - x² - 4x + 4. عندما تزيل العامل المشترك الأكبر من المصطلحين الأول والأخير ، تحصل على ما يلي: x² (x - 1) - 4 (x - 1). يمكنك الآن سحب (x - 1) من كل جزء للحصول على (x² - 4) (x - 1). باستخدام طريقة "فرق المربعات" يمكنك الذهاب أبعد من ذلك: (س - 2) (س + 2) (س - 1). بمجرد أن يصبح كل عامل في صورته الأولية أو غير القابلة للتغير ، تكون قد انتهيت.
ابحث عن فرق أو مجموع المكعبات. إذا كان كثير الحدود يحتوي على مصطلحين فقط ، كل منهما يحتوي على مكعب كامل ، فيمكنك تحليله بناءً على الصيغ التكعيبية المعروفة. بالنسبة للمجاميع ، (x³ + y³) = (x + y) (x² - xy + y²). بالنسبة للاختلافات ، (x³ - y³) = (x - y) (x² + xy + y²). على سبيل المثال ، دع G (x) = 8x³ - 125. ثم تحليل كثير الحدود من الدرجة الثالثة يعتمد على اختلاف المكعبات على النحو التالي: (2x - 5) (4x² + 10x + 25) ، حيث 2x هو الجذر التكعيبي لـ 8x³ و 5 هو الجذر التكعيبي لـ 125. نظرًا لأن 4x² + 10x + 25 عدد أولي ، فقد انتهيت من التحليل.
معرفة ما إذا كان هناك العامل المشترك الأكبر الذي يحتوي على متغير يمكنه تقليل درجة كثير الحدود. على سبيل المثال ، إذا كانت H (x) = x³ - 4x ، مع الأخذ في الاعتبار العامل المشترك الأكبر لـ "x" ، فستحصل على x (x² - 4). ثم باستخدام تقنية اختلاف المربعات ، يمكنك تقسيم كثير الحدود إلى x (x - 2) (x + 2).
استخدم الحلول المعروفة لتقليل درجة كثير الحدود. على سبيل المثال ، دع P (x) = x³ - 4x² - 7x + 10. نظرًا لعدم وجود GCF أو فرق / مجموع المكعبات ، يجب عليك استخدام معلومات أخرى لتحليل كثير الحدود إلى عوامل. بمجرد أن تكتشف أن P (c) = 0 ، فأنت تعلم أن (x - c) هو أحد عوامل P (x) استنادًا إلى "نظرية العوامل" في الجبر. لذلك ، ابحث عن مثل هذا "ج". في هذه الحالة ، P (5) = 0 ، لذلك (x - 5) يجب أن تكون عاملاً. باستخدام القسمة التركيبية أو المطولة ، تحصل على حاصل قسمة (x² + x - 2) ، والذي يحلل في (x - 1) (x + 2). إذن ، P (x) = (x - 5) (x - 1) (x + 2).