حيل لتحليل المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي صيغ يمكن كتابتها بالصيغة Ax ^ 2 + Bx + C = 0. في بعض الأحيان ، يمكن تبسيط المعادلة التربيعية عن طريق التحليل أو التعبير عن المعادلة كمنتج لشروط منفصلة. هذا يمكن أن يجعل حل المعادلة أسهل. قد يكون من الصعب في بعض الأحيان تحديد العوامل ، ولكن هناك حيل يمكن أن تجعل العملية أسهل.

افحص المعادلة التربيعية لتحديد ما إذا كان هناك رقم و / أو متغير يمكنه تقسيم كل مصطلح في المعادلة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المعادلة 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. أكبر عدد يمكن أن يقسم بالتساوي في كل حد من المعادلة هو 2 ، لذلك 2 هو أكبر عامل مشترك (GCF).

قسّم كل حد في المعادلة على العامل المشترك الأكبر ، واضرب المعادلة بأكملها في العامل المشترك الأكبر. في المثال المعادلة 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0 ، سينتج عن ذلك 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

بسّط التعبير بإكمال القسمة في كل حد. يجب ألا تحتوي المعادلة النهائية على كسور. في المثال ، قد ينتج عن هذا 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

افحص المعادلة التربيعية لمعرفة ما إذا كانت بالصيغة Ax ^ 2 + 0x - C = 0 ، حيث A = y ^ 2 و C = z ^ 2. إذا كانت هذه هي الحالة ، فإن المعادلة التربيعية تعبر عن الفرق بين مربعين. على سبيل المثال ، في المعادلة 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0 ، A = 4 = 2 ^ 2 و C = 9 = 3 ^ 2 ، لذلك y = 2 و z = 3.

حلل المعادلة إلى عوامل في الصورة (yx + z) (yx - z) = 0. في مثال المعادلة ، y = 2 و z = 3 ؛ لذلك فإن المعادلة التربيعية المحللة إلى عوامل هي (2x + 3) (2x - 3) = 0. ستكون هذه دائمًا الصيغة المحللة إلى عوامل من المعادلة التربيعية التي تمثل فرق المربعات.

افحص المعادلة التربيعية لمعرفة ما إذا كانت مربعًا كاملًا. إذا كانت المعادلة التربيعية عبارة عن مربع كامل ، فيمكن كتابتها بالصيغة y ^ 2 + 2yz + z ^ 2 ، مثل المعادلة 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0 ، والتي يمكن إعادة كتابتها كـ (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. في هذه الحالة ، y = 2x ، و z = 3.

تحقق مما إذا كان المصطلح 2yz موجبًا. إذا كان المصطلح موجبًا ، فإن عوامل المعادلة التربيعية للمربع الكامل هي دائمًا (y + z) (y + z). على سبيل المثال ، في المعادلة أعلاه ، يكون 12x موجبًا ، وبالتالي فإن العوامل هي (2x + 3) (2x + 3) = 0.

تحقق مما إذا كان المصطلح 2yz سالبًا. إذا كان المصطلح سالبًا ، تكون العوامل دائمًا (y - z) (y - z). على سبيل المثال ، إذا كانت المعادلة أعلاه تحتوي على المصطلح -12x بدلاً من 12x ، ستكون العوامل (2x - 3) (2x - 3) = 0

اكتب الصيغة المحللة إلى عوامل من المعادلة التربيعية بكتابة (vx + w) (yx + z) = 0. استرجع قواعد الضرب في FOIL (الأول ، الخارج ، الداخل ، الأخير). نظرًا لأن المصطلح الأول للمعادلة التربيعية هو Ax ^ 2 ، يجب أن يشتمل كلا عاملي المعادلة على x.

حل من أجل v و y بالنظر إلى جميع عوامل A في المعادلة التربيعية. إذا كان A = 1 ، فسيكون كل من v و y دائمًا 1. في مثال المعادلة x ^ 2 - 9x + 8 = 0 ، A = 1 ، لذلك يمكن حل v و y في المعادلة المحللة للحصول على (1x + w) (1x + z) = 0.

حدد ما إذا كان w و z موجبين أم سالبين. تطبق القواعد التالية: C = إيجابي و B = إيجابي ؛ كلا العاملين لهما علامة + C = موجب و B = سلبي ؛ كلا العاملين لهما - علامة C = سلبية و B = موجب ؛ العامل ذو القيمة الأكبر له علامة + C = سالب و B = سلبي ؛ العامل ذو القيمة الأكبر له علامة - في مثال المعادلة من الخطوة 2 ، B = -9 و C = +8 ، لذلك سيكون لكل من عاملي المعادلة - علامات ، ويمكن كتابة المعادلة المحللة إلى عوامل (1x - w) (1x - z) = 0.

اكتب قائمة بكل عوامل C لإيجاد قيم w و z. في المثال أعلاه ، C = 8 ، وبالتالي فإن العوامل هي 1 و 8 و 2 و 4 و -1 و -8 و -2 و -4. يجب أن تضيف العوامل ما يصل إلى B ، وهو -9 في مثال المعادلة ، لذلك w = -1 و z = -8 (أو العكس) ويتم تحليل معادلتنا بالكامل على أنها (1x - 1) (1x - 8) = 0.

اختصر المعادلة إلى أبسط صورها باستخدام طريقة العامل المشترك الأكبر المذكورة أعلاه. على سبيل المثال ، في المعادلة 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0 ، يكون العامل المشترك الأكبر هو 9 ، لذلك يتم تبسيط المعادلة إلى 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

ارسم مربعًا وقسمه إلى جدول به صفين وعمودين. ضع Ax ^ 2 من المعادلة المبسطة في الصف 1 والعمود 1 و C من المعادلة المبسطة في الصف 2 والعمود 2.

اضرب أ في ج ، وأوجد كل عوامل الضرب. في المثال أعلاه ، A = 1 و C = -10 ، وبالتالي فإن المنتج هو (1) (- 10) = -10. عوامل -10 هي -1 و 10 و -2 و 5 و 1 و -10 و 2 و -5.

حدد أي من عوامل المنتج AC تضاف إلى B. في المثال ب = 3. عوامل -10 التي تجمع ما يصل إلى 3 هي -2 و 5.

اضرب كل من العوامل المحددة في x. في المثال أعلاه ، سينتج عن هذا -2x و 5x. ضع هذين المصطلحين الجديدين في الفراغين الفارغين على الرسم البياني ، بحيث يبدو الجدول كما يلي:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

ابحث عن العامل المشترك الأكبر لكل صف وعمود في المربع. في المثال CGF للصف العلوي هو x ، وللصف السفلي -2. العامل المشترك الأكبر للعمود الأول هو x ، وللعمود الثاني هو 5.

اكتب المعادلة المحللة في الصورة (w + v) (y + z) باستخدام العوامل المحددة من صفوف الرسم البياني لـ w و v ، والعوامل المحددة من أعمدة الرسم البياني لـ y و z. إذا تم تبسيط المعادلة في الخطوة 1 ، تذكر تضمين العامل المشترك الأكبر للمعادلة في التعبير المحلّل إلى عوامل. في حالة المثال ، ستكون المعادلة المحللة إلى عوامل 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

تأكد من أن المعادلة في شكل تربيعي قياسي قبل أن تبدأ في أي من الطرق الموصوفة.

ليس من السهل دائمًا تحديد مربع كامل أو اختلاف المربعات. إذا كان بإمكانك أن ترى بسرعة أن المعادلة التربيعية التي تحاول تحليلها موجودة في إحدى هذه الأشكال ، فقد يكون ذلك مفيدًا للغاية. ومع ذلك ، لا تقض الكثير من الوقت في محاولة اكتشاف ذلك ، حيث يمكن أن تكون الطرق الأخرى أسرع.

تحقق دائمًا من عملك بضرب العوامل باستخدام طريقة FOIL. يجب أن تتضاعف العوامل دائمًا مرة أخرى إلى المعادلة التربيعية الأصلية.