تبدأ أفضل طريقة لتحليل كثيرات الحدود مع الكسور بتقليل الكسور إلى حدود أبسط. تمثل كثيرات الحدود التعبيرات الجبرية ذات المصطلحين أو أكثر ، وبشكل أكثر تحديدًا ، مجموع المصطلحات المتعددة التي لها تعبيرات مختلفة عن نفس المتغير. تتضمن الإستراتيجيات التي تساعد في تبسيط كثيرات الحدود عاملًا مشتركًا أكبر ، متبوعًا بتجميع المعادلة في أدنى حدودها. وينطبق الشيء نفسه حتى عند حل كثيرات الحدود بالكسور.
كثيرات الحدود مع تعريف الكسور
لديك ثلاث طرق لعرض العبارة متعدد الحدود مع الكسور. يتناول التفسير الأول كثيرات الحدود مع كسور المعاملات. في الجبر ، يتم تعريف المعامل على أنه كمية العدد أو الثابت الموجود قبل المتغير. بمعنى آخر ، معاملات 7_a_ ، ب و (1/3)ج هي 7 و 1 و (1/3) على التوالي. ومن ثم ، فإن مثالين على كثيرات الحدود مع معاملات كسور سيكونان:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 \ text {and} x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8}
يشير التفسير الثاني لـ "كثيرات الحدود مع الكسور" إلى كثيرات الحدود الموجودة في جزء أو نسبة شكل مع بسط ومقام ، حيث البسط كثير الحدود مقسوم على المقام متعدد الحدود. على سبيل المثال ، يتم توضيح هذا التفسير الثاني من خلال:
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
التفسير الثالث ، في الوقت نفسه ، يتعلق بالتحلل الجزئي للكسر ، المعروف أيضًا باسم توسيع الكسر الجزئي. في بعض الأحيان تكون الكسور متعددة الحدود معقدة بحيث عندما "تتحلل" أو "تتفكك" إلى مصطلحات أبسط ، يتم تقديمها كمجموع ، أو اختلافات ، أو منتجات ، أو حاصل ضرب كثير الحدود كسور. للتوضيح ، الجزء المعقد كثير الحدود من:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
يتم تقييمها من خلال التحلل الجزئي للكسر ، والذي ، بالمناسبة ، يتضمن تحليل كثيرات الحدود ، لتكون في أبسط أشكالها:
\ bigg (\ frac {3} {x + 2} \ bigg) + \ bigg (\ frac {5} {x-1} \ bigg)
أساسيات التخصيم - خاصية التوزيع وطريقة احباط
تمثل العوامل رقمين ، عند ضربهما معًا ، يساوي عددًا ثالثًا. في المعادلات الجبرية ، يحدد التحليل كميتين تم ضربهما معًا للوصول إلى كثير حدود معين. يتم اتباع خاصية التوزيع بشكل كبير عند ضرب كثيرات الحدود. تسمح خاصية التوزيع بشكل أساسي للشخص بضرب مجموع بضرب كل رقم على حدة قبل إضافة الضربات. لاحظ ، على سبيل المثال ، كيفية تطبيق خاصية التوزيع في مثال:
7 (10x + 5) \ text {للوصول إلى ذات الحدين} 70x + 35.
ولكن ، إذا تم ضرب حدين معًا ، فسيتم استخدام نسخة موسعة من خاصية التوزيع عبر طريقة FOIL. يمثل FOIL الاختصار للمصطلحات الأولى ، والخارجية ، والداخلية ، والأخيرة التي يتم ضربها. ومن ثم ، فإن تحليل عوامل كثيرة الحدود يستلزم تنفيذ طريقة FOIL بشكل عكسي. خذ المثالين المذكورين أعلاه مع كثيرات الحدود التي تحتوي على معاملات كسور. يؤدي إجراء طريقة FOIL بشكل عكسي على كل منها إلى عوامل
\ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
بالنسبة لكثير الحدود الأول وعوامل
\ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} {2} \ bigg)
لكثير الحدود الثاني.
مثال:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 = \ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
مثال:
x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8} = \ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} { 2} بيغ)
الخطوات التي يجب اتخاذها عند تحليل الكسور متعددة الحدود
من الأعلى ، تشتمل الكسور متعددة الحدود على كثير الحدود في البسط مقسومًا على كثير الحدود في المقام. وبالتالي ، فإن حساب الكسور متعددة الحدود يتطلب تحليل البسط كثير الحدود أولاً متبوعًا بتحليل كثير الحدود إلى عوامل. يساعد في إيجاد العامل المشترك الأكبر ، أو العامل المشترك الأكبر ، بين البسط والمقام. بمجرد إيجاد العامل المشترك الأكبر لكلٍ من البسط والمقام ، يتم إلغاؤه ، مما يؤدي في النهاية إلى تقليل المعادلة بأكملها إلى حدود مبسطة. ضع في اعتبارك مثال الكسر متعدد الحدود الأصلي أعلاه
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
تحليل عوامل البسط والمقام إلى عوامل لإيجاد العامل المشترك الأكبر ينتج عنه:
\ frac {(x + 2) (x + 5)} {(x + 2) (x + 9)}
مع كون الصندوق الأخضر للمناخ (x + 2).
العامل المشترك الأكبر في كل من البسط والمقام يلغي كل منهما الآخر لتقديم الإجابة النهائية بأدنى حد لـ (x + 5) ÷ (x + 9).
مثال:
\ تبدأ {محاذاة} \ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18} & = \ frac {\ إلغاء {(x + 2)} (x + 5)} {\ إلغاء {( x + 2)} (x + 9)} \\ & = \ frac {x + 5} {x + 9} \ end {align}
تقييم المعادلات عن طريق تحليل الكسر الجزئي
التحلل الجزئي ، الذي يتضمن التحليل ، هو طريقة لإعادة كتابة معادلات الكسر متعددة الحدود المعقدة إلى صيغة أبسط. إعادة النظر في المثال أعلاه من
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
بسّط المقام
بسّط المقام لتحصل على:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2} = \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)}
أعد ترتيب البسط
بعد ذلك ، أعد ترتيب البسط بحيث يبدأ في وجود العامل المشترك الأكبر في المقام ، للحصول على:
\ start {align} \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)} & = \ frac {3x + 5x - 3 + 10} {(x + 2) (x - 1)} \ \ & = \ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} \\ \ end {align}
بالنسبة إلى الإضافة اليسرى ، يكون GCF هو (x - 1) ، بينما بالنسبة للإضافة الصحيحة ، يكون GCF (x + 2) ، والتي تلغي في البسط والمقام ، كما هو موضح في:
\ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} = \ frac {3 \ إلغاء {(x - 1)}} {(x + 2) \ إلغاء {(x - 1)}} + \ frac {5 \ إلغاء {(x + 2)}} {\ إلغاء {(x + 2)} (x - 1) }
وبالتالي ، عندما تلغي عوامل المناخ المشتركة ، تكون الإجابة المبسطة النهائية هي:
\ frac {3} {x + 2} + \ frac {5} {x - 1}
كحل للكسر الجزئي.