أي شخص سبق له أن لعب لعبة البلياردو يكون على دراية بقانون الحفاظ على الزخم ، سواء أدرك ذلك أم لا.
قانون الحفاظ على الزخم أساسي في فهم والتنبؤ بما يحدث عندما تتفاعل الأشياء أو تصطدم. يتنبأ هذا القانون بحركات كرات البلياردو وهو ما يقرر ما إذا كانت تلك الكرة الثمانية تجعلها في الجيب الركني أم لا.
ما هو الزخم؟
يُعرَّف الزخم بأنه حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعته. في شكل معادلة ، غالبًا ما يتم كتابة هذا كـع = مف.
إنها كمية متجهة ، مما يعني أن لها اتجاهًا مرتبطًا بها. اتجاه متجه زخم الجسم هو نفس اتجاه متجه السرعة.
زخم النظام المعزول هو مجموع عزم كل كائن على حدة في هذا النظام. النظام المعزول هو نظام يتفاعل مع الأشياء التي لا تتفاعل بأي شكل من الأشكال مع أي شيء آخر. بمعنى آخر ، لا توجد قوة خارجية صافية تعمل على النظام.
تعد دراسة الزخم الكلي في نظام معزول أمرًا مهمًا لأنه يسمح لك بعمل تنبؤات بما سيحدث للأجسام في النظام أثناء التصادمات والتفاعلات.
ما هي قوانين الحفظ؟
قبل الشروع في فهم قانون الحفاظ على الزخم ، من المهم أن نفهم المقصود بعبارة "الكمية المحفوظة".
يعني الحفاظ على شيء ما منع إهداره أو ضياعه بطريقة ما. في الفيزياء ، يُقال إن الكمية محفوظة إذا ظلت ثابتة. ربما تكون قد سمعت التعبير من حيث صلته بالحفاظ على الطاقة ، وهو المفهوم القائل بأن الطاقة لا يمكن إنشاؤها أو تدميرها ، ولكن فقط تغير الشكل. ومن ثم فإن المبلغ الإجمالي لها يظل ثابتًا.
عندما نتحدث عن الحفاظ على الزخم ، فإننا نتحدث عن المبلغ الإجمالي للزخم الذي يظل ثابتًا. يمكن أن ينتقل هذا الزخم من كائن إلى آخر داخل نظام معزول ولا يزال يعتبر محفوظًا إذا لم يتغير الزخم الكلي في هذا النظام.
قانون نيوتن الثاني للحركة وقانون حفظ الزخم
يمكن اشتقاق قانون حفظ الزخم من قانون نيوتن الثاني للحركة. تذكر أن هذا القانون يتعلق بالقوة الصافية والكتلة والتسارع لجسم ماFصافي = أماه.
الحيلة هنا هي التفكير في هذه القوة الكلية على أنها تعمل على نظام ككل. ينطبق قانون الحفاظ على الزخم عندما تكون القوة الكلية على النظام 0. هذا يعني أنه بالنسبة لكل كائن في النظام ، يجب أن تأتي القوى الوحيدة التي يمكن أن تمارس عليه من كائنات أخرى داخل النظام ، وإلا يتم إلغاؤها بطريقة ما.
قد تكون القوى الخارجية هي الاحتكاك أو الجاذبية أو مقاومة الهواء. هذه تحتاج إما إلى عدم التصرف ، أو يجب مواجهتها ، من أجل جعل صافي القوة على النظام 0.
يمكنك أن تبدأ الاشتقاق بالعبارةFصافي = أماه = 0.
المفي هذه الحالة هي كتلة النظام بأكمله. التسارع المعني هو صافي تسارع النظام ، والذي يشير إلى التسارع من مركز كتلة النظام (مركز الكتلة هو متوسط موقع النظام الكلي كتلة.)
لكي تكون القوة الكلية 0 ، يجب أن يكون التسارع أيضًا 0. بما أن التسارع هو التغير في السرعة بمرور الوقت ، فهذا يعني أن السرعة يجب ألا تتغير. بمعنى آخر ، السرعة ثابتة. ومن ثم حصلنا على البيانمسم= ثابت.
أينالخامسسمهي سرعة مركز الكتلة ، معطاة بالصيغة:
v_ {cm} = \ frac {m_1v_1 + m_2v_2 + ...} {m_1 + m_2 + ...}
لذا فإن العبارة الآن تختزل إلى:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \ نص {ثابت}
هذه هي المعادلة التي تصف الحفاظ على الزخم. كل مصطلح هو زخم أحد العناصر في النظام ، ويجب أن يكون مجموع كل العزم ثابتًا. هناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك بالقول:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} +... = m_1v_ {1f} + m_2v_ {2f} + ...
أين الخطأنايشير القيم الأولية وFإلى القيم النهائية ، وعادة ما تحدث قبل ثم بعد نوع من التفاعل ، مثل الاصطدام بين الكائنات في النظام.
التصادمات المرنة وغير المرنة
السبب في أهمية قانون الحفاظ على الزخم هو أنه يمكن أن يسمح لك بحل سرعة نهائية غير معروفة أو ما شابه ذلك للأشياء في نظام معزول قد تصطدم مع كل منها آخر.
هناك طريقتان رئيسيتان يمكن أن يحدث بهما مثل هذا الاصطدام: بشكل مرن أو غير مرن.
التصادم المرن تمامًا هو التصادم الذي ترتد فيه الأجسام المتصادمة عن بعضها البعض. يتميز هذا النوع من الاصطدام بالحفاظ على الطاقة الحركية. يتم الحصول على الطاقة الحركية لجسم ما من خلال الصيغة:
KE = \ frac {1} {2} mv ^ 2
إذا تم الحفاظ على الطاقة الحركية ، فيجب أن يظل مجموع الطاقات الحركية لجميع الكائنات في النظام ثابتًا قبل وبعد أي تصادمات. يمكن أن يتيح لك استخدام الحفاظ على الطاقة الحركية جنبًا إلى جنب مع الحفاظ على الزخم حل أكثر من سرعة نهائية أو أولية في نظام تصادم.
التصادم غير المرن تمامًا هو التصادم الذي يحدث عندما يصطدم جسمان ، يلتصق كل منهما بالآخر ويتحرك ككتلة مفردة بعد ذلك. يمكن أن يؤدي ذلك إلى تبسيط المشكلة أيضًا لأنك تحتاج فقط إلى تحديد سرعة نهائية واحدة بدلاً من اثنين.
بينما يتم الحفاظ على الزخم في كلا النوعين من التصادمات ، يتم الحفاظ على الطاقة الحركية فقط في حالة التصادم المرن. معظم الاصطدامات الواقعية ليست مرنة تمامًا أو غير مرنة تمامًا ، ولكنها تقع في مكان ما بينهما.
الحفاظ على الزخم الزاوي
ما تم وصفه في القسم السابق هو الحفاظ على الزخم الخطي. هناك نوع آخر من الزخم ينطبق على الحركة الدورانية يسمى الزخم الزاوي.
كما هو الحال مع الزخم الخطي ، يتم أيضًا الحفاظ على الزخم الزاوي. يعتمد الزخم الزاوي على كتلة الجسم وكذلك على بُعد تلك الكتلة من محور الدوران.
عندما يدور أحد المتزلجين على الجليد ، ستراهم يدورون بشكل أسرع حيث يقربون أذرعهم من أجسادهم. هذا لأن زخمهم الزاوي لا يتم الحفاظ عليه إلا إذا زادت سرعتهم الدورانية بما يتناسب مع مدى قربهم من وضع أذرعهم إلى مركزهم.
أمثلة على مشاكل الحفاظ على الزخم
مثال 1:تتدحرج كرتا بلياردو ذات كتلة متساوية تجاه بعضهما البعض. أحدهما يسافر بسرعة ابتدائية 2 م / ث والآخر يسير بسرعة 4 م / ث. إذا كان التصادم مرنًا تمامًا ، فما السرعة النهائية لكل كرة؟
الحل 1:من المهم عند حل هذه المشكلة اختيار نظام إحداثيات. نظرًا لأن كل شيء يحدث في خط مستقيم ، فقد تقرر أن الحركة إلى اليمين موجبة والحركة إلى اليسار سلبية. افترض أن الكرة الأولى تتحرك إلى اليمين بسرعة 2m / s. سرعة الكرة الثانية بعد ذلك هي -4m / s.
اكتب تعبيرًا عن الزخم الكلي للنظام قبل الاصطدام ، بالإضافة إلى إجمالي الطاقة الحركية للنظام قبل الاصطدام:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2
أدخل القيم للحصول على تعبير لكل منها:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} = 2m - 4m = -2m \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2 = \ frac {1} {2} م (2) ^ 2 + \ frac {1} {2} م (-4) ^ 2 = 10 م
لاحظ أنه نظرًا لعدم إعطائك قيمًا للجماهير ، فإنها تظل غير معروفة ، على الرغم من أن كلا الكتلتين متماثلتان ، مما سمح ببعض التبسيط.
بعد الاصطدام ، تعابير الزخم والطاقة الحركية هي:
mv_ {1f} + mv_ {2f} \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2} mv_ {2f} ^ 2
من خلال تعيين القيم الأولية التي تساوي القيم النهائية لكل منها ، يمكنك إلغاء الكتل. ثم يتبقى لك نظام من معادلتين وكميتين غير معروفين:
mv_ {1f} + mv_ {2f} = -2m \ يشير إلى v_ {1f} + v {2f} = -2 \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2 } mv_ {2f} ^ 2 = 10m \ يشير إلى v_ {1f} ^ 2 + v {2f} ^ 2 = 20
يعطي حل النظام جبريًا الحلول التالية:
v_ {if} = -4 \ text {m / s} v_ {2f} = 2 \ text {m / s}
ستلاحظ أنه نظرًا لأن الكرتين لهما نفس الكتلة ، فقد تبادلا السرعات بشكل أساسي.
المثال 2:تصطدم سيارة وزنها 1200 كجم تسافر شرقا بسرعة 20 ميلا في الساعة وجها لوجه بشاحنة تزن 3000 كجم تسير غربا بسرعة 15 ميلا في الساعة. تلتصق السيارتان ببعضهما عند الاصطدام. بأي سرعة نهائية يتحركون؟
الحل 2:الشيء الوحيد الذي يجب ملاحظته حول هذه المشكلة بالذات هو الوحدات. وحدات SI للزخم هي kg⋅m / s. ومع ذلك ، يتم إعطاؤك الكتلة بالكيلوجرام والسرعات بالأميال في الساعة. لاحظ أنه طالما أن جميع السرعات في وحدات متسقة ، فلا داعي للتحويل. عندما تحسب السرعة النهائية ، ستكون إجابتك بالأميال في الساعة.
يمكن التعبير عن الزخم الأولي للنظام على النحو التالي:
m_cv_ {ci} + m_tv_ {ti} = 1200 \ times 20 - 3000 \ times 15 = -21000 \ text {kg} \ times \ text {mph}
يمكن التعبير عن الزخم النهائي للنظام على النحو التالي:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
يخبرك قانون الحفاظ على الزخم أن هذه القيم الأولية والنهائية يجب أن تكون متساوية. يمكنك إيجاد السرعة النهائية عن طريق ضبط الزخم الأولي مساويًا للزخم النهائي ، وإيجاد السرعة النهائية على النحو التالي:
4200v_f = -21000 \ يشير إلى v_f = \ frac {-21000} {4200} = -5 \ text {mph}
المثال 3:أظهر أن الطاقة الحركية لم يتم حفظها في السؤال السابق الذي يتضمن التصادم غير المرن بين السيارة والشاحنة.
الحل 3:كانت الطاقة الحركية الأولية لهذا النظام هي:
\ frac {1} {2} m_cv_ {ci} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_tv_ {ti} ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200) (20) ^ 2 + \ frac { 1} {2} (3000) (15) ^ 2 = 557،500 \ نص {كجم (ميل / ساعة)} ^ 2
كانت الطاقة الحركية النهائية للنظام:
\ frac {1} {2} (m_c + m_t) v_f ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200 + 3000) 5 ^ 2 = 52،500 \ text {kg (mph)} ^ 2
نظرًا لأن إجمالي الطاقة الحركية الأولية وإجمالي الطاقة الحركية النهائية غير متساويتين ، يمكنك إذن استنتاج أن الطاقة الحركية لم يتم حفظها.