في الرياضيات ، التسلسل هو أي سلسلة من الأرقام مرتبة بترتيب تصاعدي أو تنازلي. يصبح التسلسل تسلسلاً هندسيًا عندما تكون قادرًا على الحصول على كل رقم بضرب الرقم السابق في عامل مشترك. على سبيل المثال ، السلسلة 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16... هو تسلسل هندسي له العامل المشترك 2. إذا قمت بضرب أي رقم في المتسلسلة في 2 ، فستحصل على الرقم التالي. على النقيض من ذلك ، التسلسل 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 14 ، 22... ليس هندسيًا لأنه لا يوجد عامل مشترك بين الأعداد. يمكن أن يكون للتسلسل الهندسي عامل كسري مشترك ، وفي هذه الحالة يكون كل رقم متتالي أصغر من الرقم الذي يسبقه. 1, 1/2, 1/4, 1/8... انه مثال. العامل المشترك هو 1/2.
حقيقة أن للتسلسل الهندسي عامل مشترك يسمح لك بعمل شيئين. الأول هو حساب أي عنصر عشوائي في التسلسل (والذي يحب علماء الرياضيات تسميته "نth "عنصر) ، والثاني هو العثور على مجموع التسلسل الهندسي حتىنالعنصر ال. عندما تلخص المتتالية بوضع علامة الجمع بين كل زوج من المصطلحات ، فإنك تحول المتتالية إلى سلسلة هندسية.
إيجاد العنصر nth في متسلسلة هندسية
بشكل عام ، يمكنك تمثيل أي سلسلة هندسية بالطريقة التالية:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
أين "أ"هو المصطلح الأول في السلسلة و"ص"هو العامل المشترك. للتحقق من ذلك ، ضع في اعتبارك السلسلة التيأ= 1 وص= 2. تحصل على 1 + 2 + 4 + 8 + 16... إنها تعمل!
بعد إثبات ذلك ، أصبح من الممكن الآن اشتقاق صيغة للحد التاسع في المتوالية (xن).
x_n = ar ^ {(n-1)}
الأس هون- 1 بدلا مننللسماح بالمصطلح الأول في التسلسل ليتم كتابته كـأر0الذي يساوي "أ."
تحقق من ذلك عن طريق حساب الحد الرابع في سلسلة الأمثلة.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
حساب مجموع المتتابعة الهندسية
إذا كنت تريد جمع تسلسل متباعد ، وهو متسلسل له حصة مشتركة أكبر من 1 أو أقل من -1 ، فيمكنك فقط القيام بذلك حتى عدد محدود من المصطلحات. من الممكن حساب مجموع تسلسل متقارب لانهائي ، وهو واحد ذو نسبة مشتركة بين 1 و - 1.
لتطوير صيغة المجموع الهندسي ، ابدأ بالتفكير فيما تفعله. أنت تبحث عن إجمالي سلسلة الإضافات التالية:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
كل مصطلح في السلسلة هوأرك، وكينتقل من 0 إلىن− 1. تستخدم صيغة مجموع المتسلسلة علامة سيجما الكبيرة - ∑ - مما يعني إضافة كل المصطلحات من (ك= 0) إلى (ك = ن − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
للتحقق من ذلك ، ضع في اعتبارك مجموع أول 4 حدود من المتسلسلة الهندسية بدءًا من 1 ولها عامل مشترك هو 2. في الصيغة أعلاه ،أ = 1, ص= 2 ون= 4. بتوصيل هذه القيم ، تحصل على:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
من السهل التحقق من ذلك عن طريق إضافة الأرقام في السلسلة بنفسك. في الواقع ، عندما تحتاج إلى مجموع سلسلة هندسية ، فمن الأسهل عادةً جمع الأرقام بنفسك عندما لا يكون هناك سوى عدد قليل من المصطلحات. إذا كانت السلسلة تحتوي على عدد كبير من المصطلحات ، فمن الأسهل استخدام صيغة المجموع الهندسي.