كيفية حساب المتجهات الذاتية

تعلم وفهم تعريف "eigenvector". تم إيجاده لمصفوفة n x n مربعة A وكذلك a قيمة eigenvalue العددية تسمى "لامدا". يتم تمثيل Lambda بالحرف اليوناني ، ولكن هنا سنختصرها إلى ل. إذا كان هناك متجه غير صفري x حيث Ax = Lx ، فإن هذا المتجه x يسمى "قيمة eigenvalue لـ A."

أوجد القيم الذاتية للمصفوفة باستخدام المعادلة المميزة det (A - LI) = 0. "Det" تعني المحدد ، و "أنا" هي مصفوفة الهوية.

احسب eigenvector لكل قيمة ذاتية من خلال إيجاد eigenspace E (L) ، وهو الفضاء الفارغ للمعادلة المميزة. النواقل غير الصفرية لـ E (L) هي المتجهات الذاتية لـ A. تم العثور عليها عن طريق توصيل المتجهات الذاتية مرة أخرى في مصفوفة الخاصية وإيجاد أساس لـ A - LI = 0.

احسب قيم eigenvalues ​​باستخدام المعادلة المميزة. Det (A - LI) هي (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0 ، وهي كثيرة الحدود المميزة. بحل هذه المعادلة جبريًا ، نحصل على L1 = 4 و L2 = 2 ، وهما القيمتان الذاتية لمصفوفتنا.

أوجد المتجه الذاتي لـ L = 4 بحساب الفراغ الفارغ. افعل ذلك بوضع L1 = 4 في مصفوفة الخاصية وإيجاد أساس A - 4I = 0. لحل هذا ، نجد x - y = 0 ، أو x = y. هذا له حل مستقل واحد فقط لأنهما متساويان ، مثل x = y = 1. لذلك ، v1 = (1،1) هو متجه ذاتي يمتد على مساحة eigenspace لـ L1 = 4.

كرر الخطوة 6 للعثور على المتجه الذاتي لـ L2 = 2. نجد x + y = 0 أو x = --y. هذا أيضًا له حل مستقل واحد ، لنفترض أن x = --1 و y = 1. لذلك فإن v2 = (--1،1) عبارة عن ناقل ذاتي يمتد على مساحة eigenspace لـ L2 = 2.