كيف تحسب المجموعات والتباديل

لنفترض أن لديك أنواعًا من العناصر ، وترغب في تحديد مجموعة من r منها. قد نريد هذه العناصر بترتيب معين. نحن نسمي هذه المجموعات من العناصر التباديل. إذا كان الطلب لا يهم ، فإننا نسمي مجموعة مجموعات المجموعات. لكل من التركيبات والتبديلات ، يمكنك التفكير في الحالة التي تختار فيها بعض أنواع n أكثر من مرة واحدة ، وهو ما يسمى "مع التكرار" ، أو الحالة التي تختار فيها كل نوع مرة واحدة فقط ، وهو ما يسمى "لا تكرار'. الهدف هو أن تكون قادرًا على حساب عدد التوليفات أو التباديل الممكنة في حالة معينة.

غالبًا ما تُستخدم الدالة العاملية عند حساب التوليفات والتبديلات. ن! تعني N × (N – 1) ×... × 2 × 1. على سبيل المثال ، 5! = 5×4×3×2×1 = 120. عدد الطرق لطلب مجموعة من العناصر عاملي. خذ الأحرف الثلاثة أ ، ب ، ج. لديك ثلاثة اختيارات للحرف الأول ، اثنان للحرف الثاني وواحد فقط للثالث. بمعنى آخر ، إجمالي 3 × 2 × 1 = 6 طلبات. بشكل عام ، هناك ن! طرق طلب ن العناصر.

لنفترض أن لديك ثلاث غرف سترسمها ، وسيتم طلاء كل واحدة بواحد من خمسة ألوان: أحمر (ص) ، أخضر (ز) ، أزرق (ب) ، أصفر (ص) أو برتقالي (س). يمكنك اختيار كل لون عدة مرات كما تريد. لديك خمسة ألوان للاختيار من بينها للغرفة الأولى ، وخمسة للغرفة الثانية وخمسة للثالثة. هذا يعطي إجمالي 5 × 5 × 5 = 125 احتمالًا. بشكل عام ، يكون عدد طرق انتقاء مجموعة من عناصر r بترتيب معين من n اختيارات قابلة للتكرار هو n ^ r.

افترض الآن أن كل غرفة ستكون بلون مختلف. يمكنك الاختيار من بين خمسة ألوان للغرفة الأولى ، وأربعة للغرفة الثانية وثلاثة فقط للثالثة. هذا يعطينا 5 × 4 × 3 = 60 ، وهو ما يصادف أن يكون 5! / 2!. بشكل عام ، فإن عدد الطرق المستقلة لتحديد عناصر r بترتيب معين من n اختيارات غير قابلة للتكرار هو n! / (n – r) !.

بعد ذلك ، انسَ أي غرفة هي أي لون. ما عليك سوى اختيار ثلاثة ألوان مستقلة لنظام الألوان. لا يهم الترتيب هنا ، لذا (أحمر ، أخضر ، أزرق) هو نفسه (أحمر ، أزرق ، أخضر). لأي اختيار من ثلاثة ألوان هناك 3! الطرق التي يمكنك من خلالها طلبها. لذا فإنك تقلل عدد التبديلات بمقدار 3! لتحصل على 5! / (2! × 3!) = 10. بشكل عام ، يمكنك اختيار مجموعة من عناصر r بأي ترتيب من مجموعة اختيارات n غير قابلة للتكرار بطرق n! / [(n – r)! × r!].

أخيرًا ، تحتاج إلى إنشاء نظام ألوان يمكنك من خلاله استخدام أي لون عدة مرات كما تريد. يساعد رمز مسك الدفاتر الذكي في مهمة العد هذه. استخدم ثلاثة Xs لتمثيل الغرف. يتم تمثيل قائمة الألوان الخاصة بك بواسطة "rgbyo". امزج Xs في قائمة الألوان الخاصة بك ، واربط كل X باللون الأول على يسارها. على سبيل المثال ، يعني rgXXbyXo أن الغرفة الأولى خضراء ، والثانية خضراء والثالثة صفراء. يجب أن تحتوي علامة X على لون واحد على الأقل إلى اليسار ، لذلك هناك خمس فتحات متاحة لأول X. نظرًا لأن القائمة تتضمن الآن X ، فهناك ست فتحات متاحة للثانية X وسبع فتحات متاحة للثالث X. إجمالاً هناك 5 × 6 × 7 = 7! / 4! طرق كتابة الكود. ومع ذلك ، فإن ترتيب الغرف تعسفي ، لذلك لا يوجد سوى 7! / (4! × 3!) ترتيبات فريدة. بشكل عام ، يمكنك اختيار عناصر r بأي ترتيب من خيارات n قابلة للتكرار بطرق (n + r – 1)! / [(n – 1)! × r!].