ما هي المتطابقات نصف الزاوية؟

مراجعة المتطابقات نصف الزاوية

\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}

\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}

\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \، \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \، \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \، \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ سرير

\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \، \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \، \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \، \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ سرير

مثال على استخدام المتطابقات نصف الزاوية

تخيل أنك مطالب بإيجاد جيب الزاوية 15 درجة. هذه ليست إحدى الزوايا التي سيحفظ معظم الطلاب فيها قيم وظائف حساب المثلثات. لكن إذا تركت 15 درجة تساوي θ / 2 ثم حللت من أجل θ ، فستجد ما يلي:

\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30

نظرًا لأن الناتج ، 30 درجة ، هو زاوية مألوفة أكثر ، فإن استخدام صيغة نصف الزاوية هنا سيكون مفيدًا.

نظرًا لأنه طُلب منك العثور على جيب الزاوية ، فهناك حقًا صيغة نصف زاوية واحدة للاختيار من بينها:

\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}

استبدال فيθ/ 2 = 15 درجة وθ= 30 درجة تعطيك:

\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}

إذا طُلب منك العثور على الظل أو ظل التمام ، وكلاهما يتضاعف نصف طرق للتعبير عن هوية نصف الزاوية ، يمكنك ببساطة اختيار النسخة التي تبدو أسهل في العمل.

تعني علامة ± في بداية بعض المتطابقات نصف الزاوية أن الجذر المعني يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا. يمكنك حل هذا الغموض باستخدام معرفتك بالدوال المثلثية في الأرباع. فيما يلي ملخص سريع للدوال المثلثية التي تعودإيجابيالقيم التي فيها الأرباع:

• الربع الأول: جميع وظائف حساب المثلثات
  
• الربع الثاني: فقط الجيب وقاطع التمام
• الربع الثالث: الظل والظل فقط
• الربع الرابع: جيب التمام والقطع فقط

نظرًا لأن الزاوية في هذه الحالة تمثل 30 درجة ، والتي تقع في الربع I ، فأنت تعلم أن قيمة الجيب التي ترجعها ستكون موجبة. لذلك يمكنك إسقاط علامة ± وتقييم ما يلي ببساطة:

\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}

عوّض بالقيمة المعروفة والمعروفة لـ cos (30). في هذه الحالة ، استخدم القيم الدقيقة (على عكس التقريبات العشرية من الرسم البياني):

\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}

بعد ذلك ، بسّط الطرف الأيمن من المعادلة لإيجاد قيمة sin (15). ابدأ بضرب التعبير الموجود تحت الجذر في 2/2 ، مما يعطيك:

\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}

هذا يبسط إلى:

\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}

يمكنك بعد ذلك تحليل الجذر التربيعي للرقم 4:

\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}

في معظم الحالات ، يكون هذا قدر ما يمكنك تبسيطه. في حين أن النتيجة قد لا تكون جميلة بشكل رهيب ، فقد قمت بترجمة جيب الزاوية غير المألوفة إلى كمية محددة.