كيف تحسب الفرق

تعد القدرة على حساب القيمة المتوسطة أو المتوسطة لمجموعة من الأرقام مهمة في كل جانب من جوانب الحياة. إذا كنت أستاذًا تقوم بتعيين درجات بالحروف لدرجات الامتحان وتقليديًا تمنح درجة من B- إلى A نتيجة منتصف المجموعة ، فمن الواضح أنك بحاجة إلى معرفة شكل منتصف الحزمة عدديا. تحتاج أيضًا إلى طريقة لتحديد الدرجات على أنها قيم متطرفة بحيث يمكنك تحديد ما إذا كان شخص ما يستحق A أو A + (من الواضح خارج الدرجات المثالية) وكذلك ما يستحق درجة فاشلة.

لهذا السبب والأسباب ذات الصلة ، تتضمن البيانات الكاملة حول المتوسطات معلومات حول مدى التقارب المتكتل حول متوسط ​​الدرجات بشكل عام. يتم نقل هذه المعلومات باستخدام الانحراف المعياري وبالمثل ، فإن التباين لعينة إحصائية.

من شبه المؤكد أنك سمعت أو رأيت مصطلح "متوسط" المستخدم للإشارة إلى مجموعة من الأرقام أو نقاط البيانات ، وربما لديك فكرة عما يترجم إليه في اللغة اليومية. على سبيل المثال ، إذا قرأت أن متوسط ​​طول المرأة الأمريكية يبلغ حوالي 5 '4 "، فإنك تستنتج ذلك على الفور تعني كلمة "متوسط" "نموذجي" ، وأن حوالي نصف النساء في الولايات المتحدة أطول من هذا بينما نصفهن تقريبًا أقصر.

رياضيا ، معدل و يعني هي نفس الشيء تمامًا: تضيف جميع القيم في مجموعة وتقسيمها على عدد العناصر في المجموعة. على سبيل المثال ، إذا كانت مجموعة من 25 درجة في اختبار مكون من 10 أسئلة تتراوح من 3 إلى 10 وتضيف ما يصل إلى 196 ، فإن متوسط ​​الدرجة (الوسط) هو 196/25 ، أو 7.84.

الوسيط هو قيمة النقطة الوسطى في مجموعة ، الرقم الذي يقع فوقه نصف القيم ، ويقع أسفله نصف القيم. عادة ما تكون قريبة من المتوسط ​​(المتوسط) ولكنها ليست نفس الشيء.

إذا نظرت إلى مجموعة من 25 درجة مثل تلك المذكورة أعلاه ولم تر شيئًا تقريبًا سوى قيم 7 و 8 و 9 ، فمن المنطقي أن يكون المتوسط ​​حوالي 8. ولكن ماذا لو لم ترَ شيئًا تقريبًا سوى درجات 6 و 10؟ أو خمس درجات من 0 و 20 درجة من 9 أو 10؟ كل هذه يمكن أن تنتج نفس المتوسط.

التباين هو مقياس لمدى انتشار النقاط في مجموعة البيانات حول المتوسط. لحساب التباين يدويًا ، تأخذ الفرق الحسابي بين كل نقطة من نقاط البيانات والمتوسط ​​، قم بتربيعها ، أضف مجموع المربعات وقسم النتيجة على أقل من عدد نقاط البيانات في عينة. يتم توفير مثال على ذلك لاحقًا. يمكنك أيضًا استخدام برامج مثل Excel أو مواقع الويب مثل Rapid Tables (راجع موارد لمواقع إضافية).

يتم الإشارة إلى التباين بواسطة σ²، "سيجما" اليونانية مع الأس 2.

ال الانحراف المعياري من العينة هو ببساطة الجذر التربيعي للتباين. السبب في استخدام المربعات عند حساب التباين هو أنك إذا جمعت الفروق الفردية بين المتوسط ​​وكل منهما نقطة البيانات الفردية ، يكون المجموع دائمًا صفرًا لأن بعض هذه الاختلافات موجبة وبعضها سلبي ويلغي كل منهما الآخر خارج. تربيع كل مصطلح يزيل هذا المأزق.

افترض أنك حصلت على 10 نقاط بيانات:

4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9

أوجد المتوسط ​​والتباين والانحراف المعياري.

أولاً ، اجمع القيم العشر معًا واقسمها على 10 للحصول على المتوسط ​​(الوسط):

70/10 = 7.0

للحصول على التباين ، قم بتربيع الفرق بين كل نقطة بيانات والمتوسط ​​، واجمعهما معًا وقسم النتيجة على (10-1) ، أو 9:

• 7 - 4 = 3; 3² = 9
  
• 7 - 7 = 0; 0² = 0
  
• 7 - 10 = -3; (-3)² = 9.. .

9 + 0 + 9 +... + 4 = 36

σ²= 36/9 = 4.0

الانحراف المعياري σ هو الجذر التربيعي لـ 4.0 أو 2.0.