المسافة الإقليدية هي المسافة بين نقطتين في الفضاء الإقليدي. تم تصميم الفضاء الإقليدي في الأصل من قبل عالم الرياضيات اليوناني إقليدس حوالي عام 300 قبل الميلاد. لدراسة العلاقات بين الزوايا والمسافات. لا يزال هذا النظام الهندسي قيد الاستخدام اليوم وهو النظام الذي يدرسه طلاب المدارس الثانوية في أغلب الأحيان. تنطبق الهندسة الإقليدية بشكل خاص على المساحات ذات البعدين وثلاثة أبعاد. ومع ذلك ، يمكن بسهولة تعميمها على أبعاد الترتيب الأعلى.
احسب المسافة الإقليدية لبُعد واحد. المسافة بين نقطتين في بعد واحد هي ببساطة القيمة المطلقة للفرق بين إحداثياتهما. رياضياً ، يظهر هذا كـ | p1 - q1 | حيث p1 هو الإحداثي الأول للنقطة الأولى و q1 هو الإحداثي الأول للنقطة الثانية. نستخدم القيمة المطلقة لهذا الاختلاف نظرًا لأن المسافة تعتبر عادةً ذات قيمة غير سالبة فقط.
خذ نقطتين P و Q في فضاء إقليدي ثنائي الأبعاد. سنصف P بالإحداثيات (p1، p2) و Q بالإحداثيات (q1، q2). قم الآن ببناء مقطع خط بنقطتي نهاية P و Q. سيشكل هذا الجزء المستقيم وتر المثلث القائم الزاوية. لتوسيع النتائج التي تم الحصول عليها في الخطوة 1 ، نلاحظ أن أطوال أرجل هذا المثلث مُعطاة بواسطة | p1 - q1 | و | p2 - q2 |. المسافة بين النقطتين ستكون بطول الوتر.
استخدم نظرية فيثاغورس لتحديد طول الوتر في الخطوة 2. تنص هذه النظرية على أن c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 حيث c هو طول وتر المثلث القائم الزاوية و a و b هما أطوال الساقين الأخريين. هذا يعطينا c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). المسافة بين نقطتين P = (p1، p2) و Q = (q1، q2) في فضاء ثنائي الأبعاد هي ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
تمديد نتائج الخطوة 3 إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد. المسافة بين النقطتين P = (p1، p2، p3) و Q = (q1، q2، q3) يمكن بعد ذلك إعطاءها كـ ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
قم بتعميم الحل في الخطوة 4 للمسافة بين نقطتين P = (p1، p2، ...، pn) و Q = (q1، q2، ...، qn) بأبعاد n. يمكن إعطاء هذا الحل العام على النحو التالي ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).