Як розв’язати рівняння квадратного кореня

Квадратний корінь із числа - це значення, яке при множенні на себе дає вихідне число. Наприклад, квадратний корінь з 0 дорівнює 0, корінь із 100 дорівнює 10, а корінь із 50 - 7,071. Іноді ви можете зрозуміти, або просто згадати, квадратний корінь із числа, яке саме по собі є "ідеальним квадратом", що є добутком цілого числа, помноженого на себе; У міру просування навчання, ви, швидше за все, складете ментальний список цих чисел (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Проблеми, пов'язані з квадратними коренями, незамінні в техніці, обчисленні та практично в усіх сферах сучасного світу. Хоча ви можете легко знайти калькулятори рівнянь квадратного кореня в Інтернеті (див. Приклад "Ресурси"), вирішення рівнянь квадратного кореня є важливим навичка алгебри, оскільки це дозволяє ознайомитись з використанням радикалів та працювати з низкою типів задач поза сферою квадратних коренів як такі.

Той факт, що множення двох від’ємних чисел разом дає позитивне число, важливий у світі квадратних коренів, оскільки це передбачає що позитивні числа насправді мають два квадратних корені (наприклад, квадратні корені 16 дорівнюють 4 і −4, навіть якщо інтуїтивно зрозуміле лише перше). Так само і від'ємні числа не мають дійсних квадратних коренів, оскільки немає дійсного числа, яке набуває від'ємного значення при множенні на нього само. У цій презентації негативний квадратний корінь із додатного числа буде ігноруватися, так що "квадратний корінь з 361" може бути прийнятий як "19", а не "−19 і 19."

Крім того, намагаючись оцінити значення квадратного кореня, коли жоден калькулятор не підходить, важливо усвідомити, що функції, що включають квадрати та квадратні корені, не є лінійними. Більше про це ви побачите в розділі про графіки пізніше, але як приблизний приклад ви вже спостерігали, що квадратний корінь із 100 дорівнює 10, а корінь із 0 дорівнює 0. З погляду це може привести вас до припущення, що квадратний корінь для 50 (що знаходиться на півдорозі від 0 до 100) повинен бути 5 (що є посередині між 0 і 10). Але ви також вже дізналися, що корінь із 50 дорівнює 7,071.

Нарешті, можливо, ви усвідомили думку, що множення двох чисел разом дає число більший за себе, маючи на увазі, що квадратні корені чисел завжди менші за вихідні номер. Це не так! Числа від 0 до 1 теж мають квадратні корені, і в кожному випадку квадратний корінь більше вихідного числа. Це найпростіше показати, використовуючи дроби. Наприклад, 16/25, або 0,64, має ідеальний квадрат як у чисельнику, так і в знаменнику. Це означає, що квадратним коренем дробу є квадратний корінь його верхньої та нижньої складових, який дорівнює 4/5. Це дорівнює 0,80, це більше, ніж 0,64.

"Квадратний корінь зх"зазвичай пишеться з використанням того, що називається радикальним знаком, або просто радикалом (√). Таким чином для будь-якогох​:

представляє його квадратний корінь. Перегортаючи це, квадрат числахзаписується за допомогою показника ступеня 2 (х​²). Експоненти беруть верхній індекс для обробки текстів та відповідних програм, і їх також називають повноваженнями. Оскільки радикальні ознаки не завжди легко отримати на вимогу, інший спосіб записати "квадратний корінь зх"полягає у використанні показника ступеня:

Це, в свою чергу, є частиною загальної схеми:

означає "піднятихдо владир, тоді візьмітьz'корінь цього ".х​^1/2 таким чином означає "піднятихдо першої сили, яка є простохще раз, а потім візьміть 2 його корінь або квадратний корінь. "Розширюючи це,х​^(5/3) означає "піднятихдо степеня 5, потім знайдіть третій корінь (або куб корінь) результату. "

Радикали можна використовувати для представлення коренів, відмінних від 2, квадратного кореня. Це робиться простим додаванням верхнього індексу у верхньому лівому куті радикала.

тоді, представляє те саме число, що іх​^(5/3) з попереднього пункту робить.

Більшість квадратних коренів є ірраціональними числами. Це означає, що вони не тільки не приємні, акуратні цілі числа (наприклад, 1, 2, 3, 4.. .), але їх також не можна виразити як акуратне десяткове число, яке закінчується без округлення. Раціональне число можна виразити дробом. Отже, незважаючи на те, що 2,75 не є цілим числом, це раціональне число, оскільки це те саме, що частка 11/4. Раніше вам казали, що квадратний корінь із 50 дорівнює 7,071, але насправді це округляється від нескінченної кількості знаків після коми. Точне значення √50 становить 5√2, і незабаром ви побачите, як це визначається.

Ви вже бачили, що рівняння при залученні квадратів та квадратних коренів є нелінійними. Один простий спосіб запам’ятати це те, що графіки розв’язків цих рівнянь не є прямими. Це має сенс, адже якщо, як зазначалося, квадрат 0 дорівнює 0, а квадрат 10 дорівнює 100, але квадрат з 5 - це не 50, графік, отриманий в результаті простого квадратування числа, повинен вигинатися до правильного значення.

Це випадок з графіком

як ви можете переконатись самі, відвідавши калькулятор у Ресурсах та змінивши параметри. Лінія проходить через точку (0,0), а y не опускається нижче 0, чого слід очікувати, бо ви це знаєтех​² ніколи не є негативним. Ви також можете побачити, що графік симетричний навколор-ось, що також має сенс, оскільки кожен позитивний квадратний корінь даного числа супроводжується негативним квадратним коренем однакової величини. Тому, за винятком 0, коженрзначення на графікур​ = ​х​² асоціюється з двомах-значення.

Одним із способів вирішення основних проблем квадратного кореня вручну є пошук ідеальних квадратів, «захованих» всередині проблеми. По-перше, важливо пам’ятати про кілька життєво важливих властивостей квадратів та квадратних коренів. Одне з них - це, як і √х​² просто дорівнюєх(оскільки радикал і експонента відміняють один одного):

Тобто, якщо у вас ідеальний квадрат під радикалом, що множить інше число, ви можете його «витягнути» і використовувати як коефіцієнт того, що залишилось. Наприклад, повернення до квадратного кореня з 50

Іноді можна закінчити число, що включає квадратні корені, яке виражається дробом, але все одно є ірраціональним числом, оскільки знаменник, чисельник або обидва містять радикал. У таких випадках вас можуть попросити раціоналізувати знаменник. Наприклад, число

має радикал і в чисельнику, і в знаменнику. Але після вивчення "45" ви можете визнати це продуктом 9 і 5, а це означає

Тому дріб можна записати

Радикали виключають один одного, і у вас залишається 6/3 = 2.