Алгебра знаменує собою перший справжній концептуальний стрибок, який учні повинні зробити у світі математики, навчившись маніпулювати змінними та працювати з рівняннями. Починаючи працювати з рівняннями, ви зіткнетеся з типовими проблемами, включаючи показники ступеня, частки та множинні змінні. Все це можна засвоїти за допомогою кількох основних стратегій.
Основна стратегія алгебраїчних рівнянь
Основною стратегією вирішення будь-якого алгебраїчного рівняння є спочатку виділити змінний доданок з одного боку рівняння, а потім застосуйте обернені операції, якщо це необхідно, щоб зняти будь-які коефіцієнти або експоненти. Інверсна операція "скасовує" іншу операцію; наприклад, ділення "скасовує" множення коефіцієнта, а квадратні корені "скасовують" операцію квадратування показника другого ступеня.
Зверніть увагу, що якщо ви застосовуєте операцію до однієї сторони рівняння, ви повинні застосувати ту саму операцію до іншої сторони рівняння. Зберігаючи це правило, ви можете змінити спосіб написання умов рівняння, не змінюючи їх відношення один до одного.
Розв’язування рівнянь за допомогою показників
Типи рівнянь з експонентами, з якими ви зіткнетесь під час вашої подорожі алгебри, можуть легко заповнити цілу книгу. Наразі зосередьтеся на засвоєнні найосновніших рівнянь показника, де у вас є один змінний доданок із показником. Наприклад:
y ^ 2 + 3 = 19
Відніміть 3 з обох сторін рівняння, залишаючи змінний доданок ізольованим з одного боку:
y ^ 2 = 16
Видаліть показник від змінної, застосувавши радикал того самого індексу. Пам'ятайте, ви повинні робити це з обома сторонами рівняння. У цьому випадку це означає взяття квадратного кореня з обох сторін:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
Що спрощує:
y = 4
Розв’язування рівнянь із дробами
Що робити, якщо ваше рівняння включає дріб? Розглянемо приклад
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
Якщо розподілити дріб 3/4 по (х+ 7), речі можуть швидко заплутатися. Ось набагато простіша стратегія.
Помножте обидві сторони рівняння на знаменник дробу. У цьому випадку це означає множення обох сторін дробу на 4:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
Спростіть обидві сторони рівняння. Це вдається:
3 (x + 7) = 24
Ви можете знову спростити, в результаті чого:
3x + 21 = 24
Відніміть 21 з обох сторін, виділивши змінний доданок на одній стороні рівняння:
3x = 3
Нарешті, розділіть обидві сторони рівняння на 3, щоб закінчити розв'язуваннях:
x = 1
Розв’язування одного рівняння з двома змінними
Якщо у вас єодинрівняння з двома змінними, вам, мабуть, буде запропоновано вирішити лише одну із цих змінних. У цьому випадку ви дотримуєтесь майже тієї самої процедури, що і для будь-якого алгебраїчного рівняння з однією змінною. Розглянемо приклад
5x + 4 = 2y
якщо вас попросять вирішитих.
Відніміть по 3 з кожної сторони рівняння, залишаючихтермін сам по собі на одній стороні знака рівності:
5x = 2y - 4
Поділіть обидві сторони рівняння на 5, щоб видалити коефіцієнт зхтермін:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Якщо вам не надано іншої інформації, це те, наскільки ви можете взяти розрахунки.
Розв’язування двох рівнянь з двома змінними
Якщо вам дана система (або група)дварівняння, у яких є однакові дві змінні, зазвичай це означає, що рівняння пов’язані - і ви можете використовувати техніку, яка називається заміною, щоб знайти значення обох змінних. Розглянемо рівняння з останнього прикладу плюс друге, пов’язане рівняння, яке використовує ті самі змінні:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
Виберіть одне рівняння та розв’яжіть це рівняння для однієї зі змінних. У цьому випадку використовуйте те, що ви вже знаєте про перше рівняння з попереднього прикладу, для якого ви вже вирішилих:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Підставте результат з кроку 1 в інше рівняння. Іншими словами, підставте значення (2р- 4) / 5 для будь-яких випадківхв іншому рівнянні. Це дає вам рівняння лише з однією змінною:
\ frac {2y - 4} {5} + 3y = 23
Спростіть рівняння з кроку 2 і вирішіть для решти змінної, яка в цьому випадку єр.
Почніть з множення обох сторін на 5:
5 × \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
Це спрощує:
2y - 4 + 15y = 115
Після поєднання подібних термінів це додатково спрощується до:
17y = 119
І нарешті, розділивши обидві сторони на 17, ви отримаєте:
y = 7
Підставте значення з кроку 3 у рівняння з кроку 1. Це дає вам:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
Що спрощує виявлення значеннях:
х = 2
Отже, рішення для цієї системи рівнянь єх= 2 ір = 7.