Як розв’язати системи рівнянь за допомогою графіків

Системи рівнянь можуть допомогти вирішити реальні питання у всіх сферах, від хімії до бізнесу та спорту. Їх вирішення важливо не лише для оцінок з математики; це може заощадити вам багато часу, незалежно від того, намагаєтесь ви ставити цілі для свого бізнесу чи спортивної команди.

TL; ДР (занадто довгий; Не читав)

Щоб розв’язати систему рівнянь графічним способом, побудуйте графік кожної прямої на одній координатній площині та подивіться, де вони перетинаються.

Наприклад, уявіть, що ви з вашим другом встановлюєте підставку для лимонаду. Ви вирішили розділити та здобути перемогу, тож ваш друг вирушає на сусідній баскетбольний майданчик, а ви залишаєтесь на вулиці своєї родини. Врешті-решт ви об’єднуєте свої гроші. Разом ви заробили 200 доларів, але ваш друг на 50 доларів більше, ніж ви. Скільки грошей заробив кожен із вас?

Або подумайте про баскетбол: Постріли, зроблені поза лінією 3 бали, вартують 3 бали, кошики, зроблені всередині лінії 3 балів, коштують 2 бали, а штрафні кидки - лише 1 бал. Ваш суперник випереджає вас на 19 очок. Які комбінації кошиків ви могли б скласти, щоб наздогнати?

Графік - це один з найпростіших способів вирішення систем рівнянь. Все, що вам потрібно зробити, це побудувати графік обох прямих на одній координатній площині, а потім побачити, де вони перетинаються.

По-перше, потрібно написати слово проблема як система рівнянь. Призначте змінні невідомим. Зателефонуйте на зароблені грошіY, і гроші, які заробляє ваш другF​.

Тепер у вас є два типи інформації: інформація про те, скільки грошей ви заробили разом, і інформація про те, як ви заробили гроші порівняно з вашими друзями. Кожне з них стане рівнянням.

Для першого рівняння напишіть:

оскільки ваші гроші плюс гроші вашого друга складають до 200 доларів.

Далі напишіть рівняння, щоб описати порівняння між вашими заробітками.

тому що сума, яку ви зробили, на 50 доларів менша, ніж зароблена вашим другом. Ви також можете написати це рівняння якY​ + 50 = ​F, оскільки те, що ви заробили плюс 50 доларів, дорівнює тому, що зробив ваш друг. Це різні способи написання одного і того ж і не змінить вашу остаточну відповідь.

Тож система рівнянь виглядає так:

Далі вам потрібно зобразити обидва рівняння на одній координатній площині. Складіть графік вашої суми,Y, нар-ось та сума вашого друга,F, нах-ось (насправді не має значення, яка є, якщо ви правильно їх позначили). Ви можете використовувати міліметровий папір та олівець, портативний графічний калькулятор або онлайн-графічний калькулятор.

Зараз одне рівняння знаходиться у стандартній формі, а одне - у формі перетинання нахилу. Це не проблема, обов'язково, але задля послідовності переведіть обидва рівняння у форму нахилу-перехоплення.

Тож для першого рівняння перетворіть із стандартної форми у форму перетинання нахилу. Це означає вирішити дляY; іншими словами, отриматиYсам по собі на лівій стороні знака рівності. Тож віднімаємоFз обох сторін:

Пам’ятайте, що у формі нахилу нахилу число перед F - це нахил, а константа - перехват y.

Щоб побудувати графік першого рівняння,Y​ = −​F+ 200, намалюйте точку на (0, 200), а потім використовуйте схил, щоб знайти більше точок. Нахил дорівнює −1, тому спуститесь на одну одиницю і на одну одиницю і проведіть точку. Це створює точку в (1, 199), і якщо ви повторите процес, починаючи з цієї точки, ви отримаєте іншу точку в (2, 198). Це крихітні рухи на великій лінії, тому намалюйте ще одну точку нах-перехоплення, щоб переконатися, що у вас все добре зображено в довгостроковій перспективі. ЯкщоY= 0, тодіFбуде 200, тож намалюйте точку на (200, 0).

Щоб побудувати графік другого рівняння,Y​ = ​F- 50, використовуйте y-перехват −50, щоб намалювати першу точку на (0, −50). Оскільки нахил дорівнює 1, почніть з (0, −50), а потім підніміться на одну одиницю і на одну одиницю. Це ставить вас на (1, −49). Повторіть процес, починаючи з (1, −49), і ви отримаєте третю точку в (2, −48). Знову ж таки, щоб переконатися, що ви робите речі акуратно на великі відстані, перевірте себе, також намалювавших-перехоплення. КолиY​ = 0, ​Fбуде 50, тому також намалюйте точку на (50, 0). Проведіть акуратну лінію, що з’єднує ці точки.

Погляньте уважно на свій графік, щоб побачити, де перетинаються дві лінії. Це буде рішенням, оскільки рішенням системи рівнянь є точка (або точки), які роблять обидва рівняння істинними. На графіку це буде виглядати як точка (або точки), де дві прямі перетинаються.

У цьому випадку дві прямі перетинаються в точці (125, 75). Отже, рішення полягає в тому, що ваш друг (х-Coordinate) заробив 125 доларів, а ви (р-Coordinate) склав $ 75.

Швидка перевірка логіки: чи це має сенс? Разом ці два значення складають 200, а 125 - це на 50 більше, ніж 75. Звучить добре.

У цьому випадку була рівно одна точка, де дві лінії перетиналися. Коли ви працюєте з системами рівнянь, можливі три результати, і кожен на графіку буде виглядати по-різному.

• Якщо система має одне рішення, лінії перетинатимуться в одній точці, як це було в прикладі.
• Якщо система не має рішень, лінії ніколи не перетинатимуться. Вони будуть паралельними, що в алгебраїчному відношенні означає, що вони матимуть однаковий нахил.
• Система також може мати нескінченні рішення, а це означає, що ваші "два" рядки насправді однакові. Тож вони матимуть усі спільні моменти, що є нескінченною кількістю рішень.