Корені многочлена також називають його нулями, оскільки корені - цехзначення, при яких функція дорівнює нулю. Що стосується фактичного пошуку коріння, то у вашому розпорядженні кілька методів; факторинг - це метод, який ви будете використовувати найчастіше, хоча графік також може бути корисним.
Скільки коренів?
Вивчіть член багаточлена найвищого ступеня - тобто термін з найбільшим показником. Цей показник - це скільки коренів буде мати поліном. Отже, якщо найвищий показник у вашому поліномі дорівнює 2, він матиме два корені; якщо найвищий показник дорівнює 3, він матиме три корені; і так далі.
Попередження
-
Є підвох: коріння багаточлена можуть бути реальними або уявними. "Справжні" корені - це члени набору, відомі як реальні числа, і на даний момент у вашій математичній кар'єрі є кожне число, з яким ви звикли мати справу. Оволодіння уявними числами - це зовсім інша тема, тому наразі просто запам’ятайте три речі:
- «Уявні» корені з’являються, коли у вас є квадратний корінь із від’ємного числа. Наприклад, √ (-9).
- Уявні корені завжди йдуть парами.
- Корені багаточлена можуть бути дійсними або уявними. Отже, якщо у вас є поліном 5-го ступеня, він може мати п’ять дійсних коренів, він може мати три реальних корені та два уявних кореня тощо.
Знайти коріння за допомогою факторингу: Приклад 1
Найбільш універсальний спосіб пошуку коренів - це якомога більше розкласти множину на ваш поліном, а потім встановити кожен доданок рівним нулю. Це має набагато більше сенсу, як тільки ви переглянете кілька прикладів. Розглянемо простий поліномх2 – 4x:
Короткий огляд показує, що ви можете врахувати факторихз обох членів багаточлена, що дає вам:
х (х - 4)
Встановіть кожен доданок на нуль. Це означає розв’язання двох рівнянь:
x = 0
- перший доданок, встановлений на нуль, і
х - 4 = 0
- другий доданок, встановлений на нуль.
Ви вже вирішили перший термін. Якщох= 0, тоді весь вираз дорівнює нулю. Такх= 0 - одне з коренів чи нулів полінома.
Тепер розглянемо другий доданок і вирішимо длях. Якщо додати 4 з обох сторін, ви отримаєте:
x - 4 + 4 = 0 + 4
що спрощує:
х = 4
Тож якщох= 4, тоді другий множник дорівнює нулю, що означає, що весь поліном теж дорівнює нулю.
Оскільки початковий поліном був другого ступеня (найвищим показником був два), ви знаєте, що для цього полінома можливе лише два корені. Ви вже знайшли їх обох, тож усе, що вам потрібно зробити, це перерахувати їх:
x = 0, x = 4
Знайти коріння за допомогою факторингу: Приклад 2
Ось ще один приклад того, як знаходити коріння за допомогою факторингу, використовуючи при цьому якусь вигадливу алгебру. Розглянемо поліномх4 – 16. Швидкий огляд його показників показує, що для цього многочлена має бути чотири корені; тепер настав час їх знайти.
Ви помічали, що цей багаточлен можна переписати як різницю квадратів? Так замістьх4 - 16, у вас є:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Що, використовуючи формулу різниці квадратів, розраховує наступне:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
Перший доданок - це знову ж таки різниця квадратів. Отже, хоча ви більше не можете розкласти термін праворуч, ви можете поділити термін ліворуч ще на один крок:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Тепер настав час знайти нулі. Швидко стає зрозумілим, що якщох= 2, перший множник дорівнюватиме нулю, і, отже, весь вираз дорівнюватиме нулю.
Подібним чином, якщох= −2, другий множник дорівнюватиме нулю, а отже, і весь вираз.
Такх= 2 іх= −2 є обома нулями або коренями цього многочлена.
Але як щодо цього останнього терміну? Оскільки він має показник "2", він повинен мати два корені. Але ви не можете розкласти цей вираз на реальні числа, до яких ви звикли. Вам довелося б використовувати дуже вдосконалену математичну концепцію, яка називається уявними числами, або, якщо хочете, комплексними числами. Це далеко за межі вашої поточної математичної практики, тому наразі достатньо зауважити, що у вас є два реальних корені (2 та −2), і два уявних кореня, які ви залишите невизначеними.
Знайдіть коріння за графіком
Ви також можете знайти, або, принаймні, оцінити коріння графіком. Кожен корінь представляє місце, де графік функції перетинаєхвісь. Отже, якщо ви графік лінії, а потім зверніть увагу нахкоординати, де лінія перетинаєхосі, ви можете вставити розрахунковухзначення цих точок у вашому рівнянні та перевірте, чи правильно ви їх ввели.
Розглянемо перший приклад, з яким ви працювали, для поліномах2 – 4х. Якщо ви обережно намалюєте його, ви побачите, що лінія перетинаєхвісь нах= 0 іх= 4. Якщо ввести кожне з цих значень у вихідне рівняння, ви отримаєте:
0^2 - 4(0) = 0
такх= 0 був дійсним нулем або коренем для цього полінома.
4^2 - 4(4) = 0
такх= 4 - це також допустимий нуль або корінь для цього полінома. І оскільки багаточлен мав ступінь 2, ви знаєте, що можете перестати шукати, знайшовши два корені.