Перш ніж почати спрощувати або маніпулювати іншим чином раціональними висловами, знайдіть хвилинку, щоб переглянути, що сам раціональний вираз такий: Дріб з багаточленом як у чисельнику, так і в знаменнику. Або, інакше кажучи, відношення одного багаточлена до іншого. Після того, як ви визначили раціональний вираз, процес його спрощення зводиться до трьох етапів.
Етапи спрощення раціональних виразів
Процес спрощення раціональних функцій дотримується досить простої дорожньої карти. Перше, що ви повинні зробити, це поєднати подібні терміни, якщо ви цього ще не зробили, щоб допомогти вам чітко бачити багаточлени.
Далі розкладемо множник на кожен поліном. Іноді потрібно лише виписати кожен термін. Наприклад, це зрозуміло 4x (який насправді є поліномом, хоча він має лише один доданок) має два фактори: 4 і х. Але для більш складних многочленів найкращим інструментом часто є розпізнавання шаблонів для певних типів багаточленів, про які ви вже дізналися. Наприклад, якщо ви приділяли пильну увагу своїм формулам, ви можете пам’ятати, що це поліном форми а2 - б2 фактори (a + b) (a - b).
Після того, як ваші поліноми повністю розкладені на множники, останнім кроком є скасування будь-яких загальних факторів, які з’являються як у чисельнику, так і в знаменнику. Результат - ваш спрощений поліном.
Поради
Що робити, якщо поліноми у вашому раціональному виразі не мають тієї форми, яку ви знаєте, як легко розкласти на фактори? Є й інші прийоми, за якими можна їх розкласти, наприклад, заповнення квадрата або використання квадратної формули.
Попередження про знаменник
Можливо, ви не здивуєтесь, дізнавшись, що тут є невеликий улов. Зазвичай домен (або набір можливих х значення) для вашого раціонального виразу вважається набором усіх дійсних чисел. Але якщо що-небудь робить знаменник вашої частки нульовим, результатом є невизначена дріб.
Що зробить ваш знаменник нульовим? Зазвичай для цього потрібно лише невелике обстеження. Наприклад, якщо знаменник вашої частки був зведений до множників (x + 2) (x - 2), тоді значення х = -2 зробить перший множник рівним нулю, а х = 2 зробить другий множник рівним нулю.
Тож обидва ці значення, -2 та 2, повинні бути виключені з області вашого раціонального виразу. Зазвичай ви це зазначаєте знаком "не рівно" або ≠. Наприклад, якщо вам потрібно виключити з домену -2 і 2, ви б написали x ≠ -2, 2.
Спрощення раціональних виразів: приклади
Тепер, коли ви розумієте процес спрощення раціональних виразів, пора переглянути кілька прикладів.
Приклад 1: Спростіть раціональне вираження (х2 - 4) / (х2+ 4x + 4)
Тут не поєднуються подібні терміни, тому ви можете пропустити цей перший крок. Далі, завдяки своїм пильним очам і невеликій практиці, ви можете помітити, що чисельник і знаменник легко враховуються:
(x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)
Можливо, ви також це помітите (x + 2) є фактором як чисельника, так і знаменника. Як тільки ви скасуєте спільний коефіцієнт, вам залишиться:
(х - 2) / (х + 2)
Ви спростили свій раціональний вираз, наскільки це можливо, але потрібно зробити ще одне: визначити будь-які "нулі" або корені, що призведуть до невизначеної частки, тому ви можете виключити їх із домен. У цьому випадку на перевірці легко переконатися, що коли х = -2, коефіцієнт знизу дорівнюватиме нулю. Отже, ваш спрощений раціональний вираз насправді такий:
(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2
Приклад 2: Спростіть раціональне вираження x / (x2 - 4x)
Немає подібних термінів для поєднання, тому ви можете перейти до факторингу за допомогою обстеження. Не надто складно помітити, що ви можете врахувати коефіцієнт х з нижнього терміну, який дає вам:
х / х (х - 4)
Ви можете скасувати х множник як від чисельника, так і від знаменника, що залишає вам:
1 / (х - 4)
Тепер ваш раціональний вираз спрощений, але вам також потрібно відзначити будь-який х значення, що призведе до невизначеного дробу. В цьому випадку, х = 4 поверне значення нуля у знаменнику. Тож ваша відповідь:
1 / (x - 4), x ≠ 4