Як позбутися логарифмів

Ніщо не псує рівняння так, як логарифми. Вони громіздкі, важкі в маніпуляціях і трохи загадкові для деяких людей. На щастя, існує простий спосіб позбавити своє рівняння цих докучливих математичних виразів. Все, що вам потрібно зробити, це пам’ятати, що логарифм є оберненим до показника степеня. Хоча основою логарифму може бути будь-яке число, найпоширенішими основами, що використовуються в науці, є 10 та e, що є ірраціональним числом, відомим як число Ейлера. Щоб їх розрізнити, математики використовують "журнал", коли основа дорівнює 10, і "ln", коли основа є e.

TL; DR (занадто довгий; Не читав)

Щоб позбутися рівняння логарифмів, піднесіть обидві сторони до того самого показника ступеня, що і основа логарифмів. У рівняннях зі змішаними доданками зберіть усі логарифми з одного боку та спершу спростіть.

Поняття логарифму просте, але його складно передати словами. Логарифм - це кількість разів, коли вам потрібно помножити число на себе, щоб отримати інше число. Інший спосіб сказати, що логарифм - це ступінь, на яку потрібно підняти певне число - зване базою - для отримання іншого числа. Потужність називається аргументом логарифму.

Наприклад, журнал₈2 = 64 просто означає, що підняття 8 до степеня 2 дає 64. У журналі рівнянь х = 100, під базою розуміють 10, і ви можете легко вирішити аргумент, х тому що відповідає на запитання: "10, піднятих до того, що потужність дорівнює 100?" Відповідь - 2.

Логарифм є оберненим до показника степеня. Журнал рівнянь х = 100 - це ще один спосіб написання 10_^х_ = 100. Цей зв’язок дає змогу вилучити логарифми з рівняння, піднявши обидві сторони до того самого показника ступеня, що і основа логарифму. Якщо рівняння містить більше одного логарифму, вони повинні мати однакову основу, щоб це працювало.

У найпростішому випадку логарифм невідомого числа дорівнює іншому числу:

Підніміть обидві сторони до показників 10, і ви отримаєте

З 10^{(log x)} просто х, рівняння стає

Коли всі доданки в рівнянні є логарифмами, підняття обох сторін до показника дає стандартний алгебраїчний вираз. Наприклад, підняти

до степеня 10 і ви отримуєте:

що спрощує до

Рішення є х = −2; х = 1.

У рівняннях, що містять суміш логарифмів та інших алгебраїчних термінів, важливо зібрати всі логарифми з одного боку рівняння. Потім можна додавати або віднімати терміни. Відповідно до закону логарифмів справедливим є наступне:

Ось процедура розв’язування рівняння зі змішаними доданками:

Почніть з рівняння: Наприклад

Переставити умови:

Застосувати закон логарифмів:

Підніміть обидві сторони до рівня 10:

Вирішити для х: