Усі студенти математики та багато студентів природничих наук стикаються з поліномами на певному етапі навчання, але, на щастя, з ними легко впоратися, коли ви вивчите основи. Основні операції, які вам потрібно буде зробити з поліноміальними виразами, - це додавання, віднімання, множення та поділ, і хоча поділ може бути складним, більшу частину часу ви зможете впоратися з основними елементами легкість.
Поліноми: визначення та приклади
Поліном описує алгебраїчний вираз з одним або кількома термінами, що включають змінну (або декілька), з експонентами та, можливо, константами. Вони не можуть включати ділення на змінну, не можуть мати від’ємних або дробових показників і повинні мати кінцеву кількість доданків.
Цей приклад показує поліном:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
І це показує ще один:
xy ^ 2 - 3 x + y
Існує багато способів класифікації багаточленів, у тому числі за ступенем (сума показників за найвищим членом степеня, наприклад 3 у перший приклад) та за кількістю доданих у них членів, таких як одночлени (один доданок), двочлени (два доданки) та триноми (три терміни).
Додавання та віднімання многочленів
Додавання та віднімання багаточленів залежить від поєднання “подібних” термінів. Подібний термін - це такий самий термін змінних та показників, що й інший, але число, на яке вони множаться (коефіцієнт), може бути різним. Наприклад,х2 та 4х 2 є подібними до термінів, оскільки вони мають однакову змінну та показник ступеня, і 2xy 4 та 6xy 4 також схожі на терміни. Однак,х2, х3, х2р2 ір2 не схожі на терміни, оскільки кожен із них містить різні комбінації змінних та показників.
Додайте поліноми, поєднуючи подібні терміни так само, як і з іншими алгебраїчними. Наприклад, подивіться на проблему:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Зберіть подібні умови, щоб отримати:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
А потім оцініть, просто склавши коефіцієнти та об’єднавши в один доданок:
10 х ^ 3 + 5 х + у
Зверніть увагу, що ви нічого не можете зробитиртому що у нього немає подібного терміна.
Віднімання працює так само:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
По-перше, зверніть увагу, що всі терміни в правій дужці віднімаються від тих, що в лівій дужці, тому запишіть це як:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Поєднайте подібні терміни та оцініть, щоб отримати:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Для такої проблеми:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Зверніть увагу, що знак мінус застосовується до всього виразу в правій дужці, тому два негативні знаки перед 3х2 стати знаком додавання:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Потім обчисліть, як і раніше.
Множення поліноміальних виразів
Помножте поліноміальні вирази, використовуючи розподільну властивість множення. Коротше кажучи, помножте кожен доданок у першому поліномі на кожен доданок у другому. Подивіться на цей простий приклад:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Ви вирішуєте це за допомогою розподільного властивості, отже:
\ початок {вирівняно} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {вирівнено}
Так само вирішуйте складніші проблеми:
\ begin {вирівнювання} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 х ^ 2 + 2 х)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {вирівняно}
Ці проблеми можуть ускладнитися для більших груп, але основний процес залишається незмінним.
Ділячі поліноміальні вирази
Розділення поліноміальних виразів займає більше часу, але вирішити це можна поетапно. Подивіться на вираз:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Спочатку напишіть вираз як довге ділення з дільником ліворуч і діленням праворуч:
x + 2) \ надбудова {x ^ 2 - 3 x - 10}
Поділіть перший доданок у дивіденді на перший доданок у дільнику і поставте результат на рядок над діленням. В цьому випадку,х2 ÷ х = х, так:
\ begin {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {align}
Помножте цей результат на цілий дільник, тож у цьому випадку (х + 2) × х = х2 + 2 х. Поставте цей результат нижче поділу:
\ begin {вирівнювання} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {align}
Відніміть результат у новому рядку від термінів безпосередньо над ним (зауважте, що технічно ви змінюєте знак, тому, якщо у вас був негативний результат, ви б додали його замість цього), і поставте це на рядок під ним. Перемістіть остаточний термін із початкового дивіденду теж вниз.
\ begin {вирівняно} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {вирівнено}
Тепер повторіть процес із дільником та новим многочленом у нижньому рядку. Отже, розділіть перший доданок дільника (х) на перший доданок дивіденду (−5х) і поставте це вище:
\ початок {вирівняно} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {вирівнено}
Помножте цей результат (−5х ÷ х= −5) вихідним дільником (так (х + 2) × −5 = −5 х-10) і розмістіть результат у новому нижньому рядку:
\ begin {вирівняно} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ кінець {вирівняний}
Потім відніміть нижній рядок від наступного вгору (тому в цьому випадку змініть знак і додайте) і поставте результат на новий нижній рядок:
\ begin {вирівняно} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {вирівняно}
Оскільки внизу є ряд нулів, процес закінчений. Якби залишились ненульові терміни, ви б повторили процес ще раз. Результат знаходиться на верхньому рядку, отже:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Цей поділ та деякі інші можуть бути вирішені простіше, якщо ви можете множник многочлена у дивіденді.