Дійсні числа - це всі числа на числовій прямій, що простягається від негативної нескінченності через нуль до позитивної нескінченності. Ця побудова множини дійсних чисел є не довільною, а скоріше результатом еволюції з натуральних чисел, що використовуються для підрахунку. Система натуральних чисел має кілька невідповідностей, і в міру ускладнення обчислень система числення розширювалась для вирішення своїх обмежень. Що стосується дійсних чисел, обчислення дають несуперечливі результати, і існує декілька винятків чи обмежень, таких як у більш примітивних версіях системи числення.
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
Набір дійсних чисел складається з усіх чисел на числовому рядку. Це включає натуральні числа, цілі числа, цілі числа, раціональні числа та ірраціональні числа. Він не включає уявні числа або комплексні числа.
Природні числа та замикання
Замикання - це властивість набору чисел, що означає, що якщо дозволені обчислення виконуються для чисел, що входять до набору, відповіді також будуть числами, які є членами набору. Кажуть, що набір закритий.
Натуральні числа - це рахункові числа, 1, 2, 3..., а набір натуральних чисел не закритий. Оскільки натуральні числа використовувались у торгівлі, одразу виникли дві проблеми. Хоча натуральні цифри враховували реальні предмети, наприклад, корів, якщо фермер мав п’ять корів і продавав п’ять корів, природного числа для результату не було. Ранні системи числення дуже швидко розробили термін для нуля для вирішення цієї проблеми. Результатом стала система цілих чисел, яка є натуральними числами плюс нуль.
Друга проблема також була пов'язана з відніманням. Поки число враховувало реальні предмети, такі як корови, фермер не міг продати більше корів, ніж мав. Але коли числа стали абстрактними, віднімання більших чисел від менших дало відповіді поза системою цілих чисел. В результаті були введені цілі числа, які є цілими числами плюс від’ємні натуральні числа. Система числення тепер включала повний числовий рядок, але лише з цілими числами.
Раціональні числа
Обчислення в закритій системі числення повинні давати відповіді всередині системи числення для такі операції, як додавання та множення, а також їх обернені операції, віднімання та поділ. Система цілих чисел закрита для додавання, віднімання та множення, але не для ділення. Якщо ціле число ділиться на інше ціле, результатом не завжди є ціле число.
Поділивши маленьке ціле число на більше, вийде дріб. Такі дроби додавали до системи числення як раціональні числа. Раціональні числа визначаються як будь-яке число, яке можна виразити як відношення двох цілих чисел. Будь-яке довільне десяткове число можна виразити як раціональне число. Наприклад, 2.864 - це 2864/1000, а 0.89632 - 89632/100000. Цифровий рядок тепер здавався завершеним.
Ірраціональні числа
У числовому рядку є числа, які не можна виразити як частку цілих чисел. Одне - відношення сторін прямокутного трикутника до гіпотенузи. Якщо дві зі сторін прямокутного трикутника дорівнюють 1 і 1, гіпотенуза - це квадратний корінь з 2. Квадратний корінь із двох - це нескінченний десятковий знак, який не повторюється. Такі числа називаються ірраціональними, і вони включають усі дійсні числа, які не є раціональними. З цим визначенням числовий рядок усіх дійсних чисел є повним, оскільки будь-яке інше дійсне число, яке не є раціональним, включається у визначення ірраціонального.
Нескінченність
Незважаючи на те, що пряма числова лінія продовжується від негативної до позитивної нескінченності, сама нескінченність не є реальне число, а швидше концепція системи числення, яка визначає її як величину, більшу за будь-яку номер. Математично нескінченність - це відповідь на 1 / x, коли х досягає нуля, але ділення на нуль не визначено. Якби нескінченність була числом, це призвело б до суперечностей, оскільки нескінченність не відповідає законам арифметики. Наприклад, нескінченність плюс 1 все ще нескінченність.
Уявні числа
Набір дійсних чисел закрито для додавання, віднімання, множення та ділення, за винятком ділення на нуль, яке не визначено. Набір не закривається принаймні ще на одну операцію.
Правила множення у множині дійсних чисел визначають, що множення від’ємного та а додатне число дає від’ємне число, тоді як множення позитивних чи від’ємних чисел дає позитивне відповіді. Це означає, що особливий випадок множення числа сам по собі дає позитивне число як для позитивних, так і для негативних чисел. Інверсія цього приватного випадку - квадратний корінь з додатного числа, що дає як позитивну, так і негативну відповідь. Для квадратного кореня від’ємного числа відповіді у наборі дійсних чисел немає.
Поняття множини уявних чисел розглядає проблему від’ємних квадратних коренів у дійсних числах. Квадратний корінь із мінус 1 визначається як i, а всі уявні числа кратні i. Для завершення теорії чисел множина комплексних чисел визначається як така, що включає всі дійсні та всі уявні числа. Реальні числа можна продовжувати візуалізувати на горизонтальній числовій лінії, тоді як уявні числа - це вертикальні числові лінії, причому два перетинаються в нуль. Комплексні числа - це точки на площині двох числових прямих, кожна з яких має реальну та уявну складову.