Вперше знайомившись із системами рівнянь, ви, мабуть, навчилися розв’язувати систему рівнянь із двома змінними за допомогою графіків. Але вирішення рівнянь із трьома змінними або більше вимагає нового набору фокусів, а саме прийомів усунення чи заміщення.
Виберіть будь-які два рівняння та об’єднайте їх, щоб виключити одну зі змінних. У цьому прикладі додавання рівняння №1 та рівняння №2 скасуєрзмінної, залишивши наступне нове рівняння:
Нове рівняння №1:
7x - 2z = 12
Повторіть крок 1, на цей раз комбінуючи aіншийнабір з двох рівнянь, але виключаючите самезмінна. Розглянемо рівняння №2 та рівняння №3:
Рівняння №2:
5x - y - 5z = 2
Рівняння №3:
x + 2y - z = 7
У цьому випадкурзмінна не відразу ж відміняється. Отже, перед тим, як скласти два рівняння, помножте обидві сторони рівняння # 2 на 2. Це дає вам:
Рівняння №2 (змінено):
10x - 2y - 10z = 4
Рівняння №3:
x + 2y - z = 7
Тепер 2ртерміни скасовують один одного, даючи вам ще одне нове рівняння:
Нове рівняння №2:
11x - 11z = 11
Поєднайте два нових рівняння, які ви створили, з метою усунення ще однієї змінної:
Нове рівняння №1:
7x - 2z = 12
Нове рівняння №2:
11x - 11z = 11
Поки що жодні змінні не відміняються, тому вам доведеться змінити обидва рівняння. Помножте обидві сторони першого нового рівняння на 11, а помножте обидві сторони другого нового рівняння на −2. Це дає вам:
Нове рівняння №1 (змінене):
77x - 22z = 132
Нове рівняння №2 (змінено):
-22x + 22z = -22
Складіть обидва рівняння разом і спростіть, що дає вам:
х = 2
Тепер, коли ви знаєте цінністьх, ви можете підставити його у вихідні рівняння. Це дає вам:
Підставлене рівняння №1:
y + 3z = 6
Підставлене рівняння №2:
-y - 5z = -8
Підставлене рівняння №3:
2y - z = 5
Виберіть будь-які два з нових рівнянь та об’єднайте їх, щоб усунути ще одну зі змінних. У цьому випадку додавання заміненого рівняння №1 та заміненого рівняння №2 робитьрскасувати красиво. Після спрощення ви отримаєте:
z = 1
Підставте значення з кроку 5 у будь-яке із заміщених рівнянь, а потім вирішіть для решти змінної,р.Розглянемо підставлене рівняння №3:
Підставлене рівняння №3:
2y - z = 5
Підставивши у значення значенняzдає вам 2р- 1 = 5, і розв'язування длярпідводить вас до:
y = 3
Отже, рішення для цієї системи рівнянь єх = 2, р= 3 іz = 1.
Зверніть увагу, що обидва методи розв’язування системи рівнянь привели вас до одного і того ж рішення: (х = 2, р = 3, z= 1). Перевірте свою роботу, підставивши це значення у кожне з трьох рівнянь.