Типи рівнянь алгебри

Існує п’ять основних типів алгебраїчних рівнянь, які відрізняються положенням змінних, типами використовуваних операторів та функцій та поведінкою їх графіків. Кожен тип рівнянь має різний очікуваний вхід і дає результат з різною інтерпретацією. Відмінності та подібності між п’ятьма типами алгебраїчних рівнянь та їх використанням демонструють різноманітність та силу алгебраїчних операцій.

Мономали та поліноми - це рівняння, що складаються із змінних доданків із показниками цілого числа. Поліноми класифікуються за кількістю доданків у виразі: Мономали мають один доданок, двочлени мають два доданки, триноми мають три доданки. Будь-який вираз із декількома доданками називається поліномом. Поліноми класифікуються також за ступенем, що є числом найвищого показника у виразі. Поліноми із степенями один, два та три називаються відповідно лінійними, квадратними та кубічними поліномами. Рівняння x ^ 2 - x - 3 називається квадратним триномом. Квадратичні рівняння часто зустрічаються в алгебрі I та II; їх графік, відомий як парабола, описує дугу, простежену снарядом, випущеним у повітря.

Експоненційні рівняння відрізняються від поліномів тим, що вони мають змінні члени в показниках. Прикладом експоненціального рівняння є y = 3 ^ (x - 4) + 6. Експоненціальні функції класифікуються як експоненціальне зростання, якщо незалежна змінна має позитивний коефіцієнт, і експоненціальне спадання, якщо воно має від'ємний коефіцієнт. Рівняння експоненціального зростання використовуються для опису розповсюдження популяцій та захворювань, а також фінансових концепцій, таких як складні відсотки (формула складених відсотків - Pe ^ (rt), де Р - основна сума, r - процентна ставка, t - сума часу). Рівняння експоненціального розпаду описують такі явища, як радіоактивний розпад.

Логарифмічні функції є оберненими до експоненціальних функцій. Для рівняння y = 2 ^ x обернена функція y = log2 x. Основа журналу b числа x дорівнює показнику, до якого потрібно підняти b, щоб отримати число x. Наприклад, log2 з 16 дорівнює 4, оскільки від 2 до 4-го ступеня дорівнює 16. Трансцендентне число "е" найчастіше використовується як логарифмічна основа; основу логарифму e часто називають природним логарифмом. Логарифмічні рівняння використовуються в багатьох типах шкал інтенсивності, таких як шкала Ріхтера для землетрусів та шкала децибел для інтенсивності звуку. У шкалі децибел використовується журнал 10, тобто збільшення на один децибел відповідає десятикратному збільшенню інтенсивності звуку.

Раціональні рівняння - це алгебраїчні рівняння виду p (x) / q (x), де p (x) і q (x) - обидва поліноми. Прикладом раціонального рівняння є (x - 4) / (x ^ 2 - 5x + 4). Раціональні рівняння примітні тим, що мають асимптоти, які є значеннями y та x, до яких наближається графік рівняння, але ніколи не досягає. Вертикальною асимптотою раціонального рівняння є значення x, якого графік ніколи не досягає - значення y переходить у позитивну або негативну нескінченність, коли значення x наближається до асимптоти. Горизонтальна асимптота - це значення y, до якого графік наближається, коли x переходить до позитивної або негативної нескінченності.

Тригонометричні рівняння містять тригонометричні функції sin, cos, tan, sec, csc і cot. Тригонометричні функції описують співвідношення між двома сторонами прямокутного трикутника, приймаючи міру кута як вхідну або незалежну змінну, а відношення як вихідну або залежну змінну. Наприклад, y = sin x описує відношення протилежної сторони прямокутного трикутника до його гіпотенузи для кута міри x. Тригонометричні функції відрізняються тим, що вони періодичні, тобто графік повторюється через певний проміжок часу. Графік стандартної синусоїди має період 360 градусів.