Квадратним рівнянням називається таке рівняння, яке містить одну змінну і в якому змінна має квадрат. Стандартною формою для цього типу рівняння, яке завжди створює параболу, будучи графіком, єсокира2 + bx + c= 0, деa, bіcє константами. Пошук розв’язків не такий простий, як для лінійного рівняння, і частина причини полягає в тому, що через квадрат доданка завжди є два рішення. Ви можете використовувати один із трьох методів для розв’язання квадратного рівняння. Ви можете розкласти на члени, що найкраще підходить для простих рівнянь, або заповнити квадрат. Третій метод полягає у використанні квадратної формули, яка є узагальненим рішенням кожного квадратного рівняння.
Квадратична формула
Для загального квадратного рівняння видусокира2 + bx + c= 0, рішення задаються за такою формулою:
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Зверніть увагу, що знак ± всередині дужок означає, що завжди є два рішення. Одне з рішень використовує
\ frac {−b + \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
а інше рішення використовує
\ frac {−b - \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Використання квадратної формули
Перш ніж використовувати квадратну формулу, потрібно переконатися, що рівняння має стандартний вигляд. Це може бути не так. Деякіх2 доданки можуть знаходитись з обох сторін рівняння, тому вам доведеться зібрати їх з правого боку. Зробіть те саме з усіма х термінами та константами.
Приклад: Знайдіть рішення рівняння
3x ^ 2-12 = 2x (x -1)
Розгорніть дужки:
3x ^ 2 - 12 = 2x ^ 2 - 2x
Віднімаємо 2х2 і з обох сторін. Додайте 2хв обидві сторони
3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 2x ^ 2 -2x ^ 2 -2x + 2x \\ 3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 0 \\ x ^ 2 - 2x -12 = 0
Це рівняння має стандартну формусокира2 + bx + c= 0 деa = 1, b= −2 іc = 12
Квадратною формулою є
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Оскількиa = 1, b= −2 іc= −12, це стає
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 - 4 × 1 × (-12)}} {2 × 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {(4+ 48}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± \ sqrt {52}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± 7,21} {2} \\ \, \\ x = \ frac {9.21} {2} \ text {і} x = \ frac {−5.21} {2} \\ \, \\ x = 4.605 \ text {і} x = −2.605
Два інших способи розв’язання квадратних рівнянь
Ви можете розв’язати квадратні рівняння, розкладаючи на множники. Для цього ви більш-менш здогадуєтеся про пару чисел, які, складаючи разом, дають константуbі, помноживши разом, дайте константуc. Цей метод може бути складним, коли задіяні дроби. і не буде добре працювати для наведеного прикладу.
Інший метод - заповнити квадрат. Якщо у вас рівняння є стандартною формою,сокира2 + bx + c= 0, покластиcправоруч і додайте термін (b/2)2 в обидві сторони. Це дозволяє висловити лівий бік як (х + d)2, деdє константою. Потім можна взяти квадратний корінь з обох сторін і вирішити длях. Знову ж таки, рівняння у наведеному вище прикладі легше вирішити за допомогою квадратної формули.