В алгебрі послідовності чисел є цінними для вивчення того, що відбувається, коли щось стає більшим або меншим. Арифметична послідовність визначається загальною різницею, яка є різницею між одним числом і наступним у послідовності. Для арифметичних послідовностей ця різниця є постійним значенням і може бути позитивною чи негативною. Як результат, арифметична послідовність постійно збільшується або зменшується на фіксовану величину кожного разу, коли до списку, що складає послідовність, додається нове число.
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
Арифметична послідовність - це перелік чисел, у яких послідовні доданки відрізняються на постійну величину, загальну різницю. Коли загальна різниця позитивна, послідовність постійно збільшується на фіксовану величину, тоді як якщо вона від’ємна, послідовність зменшується. Інші загальні послідовності - це геометрична послідовність, в якій доданки відрізняються загальним коефіцієнтом, і послідовність Фібоначчі, в якій кожне число є сумою двох попередніх чисел.
Як працює арифметична послідовність
Арифметична послідовність визначається стартовим числом, загальною різницею та кількістю доданків у послідовності. Наприклад, арифметична послідовність, що починається з 12, загальною різницею 3 і п’ять доданків є 12, 15, 18, 21, 24. Прикладом спадної послідовності є послідовність, що починається з числа 3, загальної різниці −2 та шести доданків. Ця послідовність дорівнює 3, 1, −1, −3, −5, −7.
Арифметичні послідовності також можуть мати нескінченну кількість доданків. Наприклад, перша послідовність вище з нескінченною кількістю термінів буде 12, 15, 18,... і ця послідовність продовжується до нескінченності.
Середнє арифметичне
Арифметична послідовність має відповідний ряд, який додає всі члени послідовності. Коли додаються доданки і сума ділиться на кількість доданків, результатом є середнє арифметичне або середнє. Формула середнього арифметичного є
\ text {означає} = \ frac {\ text {сума} n \ text {терміни}} {n}
Швидкий спосіб обчислення середнього значення арифметичної послідовності полягає у використанні спостереження, коли першим і останнім додаються терміни, сума така сама, як коли додається другий і наступний останній доданок або третій і третій останні терміни. Як результат, сума послідовності - це сума першого та останнього доданків, помножених на половину числа доданків. Щоб отримати середнє, суму ділять на кількість доданків, тому середнє значення арифметичної послідовності дорівнює половині суми першого та останнього доданків. Дляптерміниа1 доап, відповідна формула для середнього m дорівнює
m = \ frac {a_1 + a_n} {2}
Нескінченні арифметичні послідовності не мають останнього доданка, і тому їх середнє значення не визначено. Натомість середнє значення для часткової суми можна знайти, обмеживши суму певною кількістю доданків. У цьому випадку часткову суму та її середнє значення можна знайти так само, як і для нескінченної послідовності.
Інші типи послідовностей
Послідовності чисел часто базуються на спостереженнях під час експериментів чи вимірювання природних явищ. Такі послідовності можуть бути випадковими числами, але часто послідовності виявляються арифметичними або іншими впорядкованими списками чисел.
Наприклад, геометричні послідовності відрізняються від арифметичних, оскільки мають спільний множник, а не загальну різницю. Замість того, щоб додавати чи віднімати число для кожного нового доданка, число множиться або ділиться кожного разу, коли додається новий доданок. Послідовність, яка дорівнює 10, 12, 14,... оскільки арифметична послідовність із загальною різницею 2 стає 10, 20, 40,... як геометрична послідовність із загальним коефіцієнтом 2.
Інші послідовності дотримуються зовсім інших правил. Наприклад, терміни послідовності Фібоначчі утворюються додаванням двох попередніх чисел. Його послідовність дорівнює 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Терміни потрібно додавати окремо, щоб отримати часткову суму, оскільки швидкий метод додавання першого та останнього термінів не працює для цієї послідовності.
Арифметичні послідовності прості, але вони мають реальне життя. Якщо початкова точка відома і можна знайти загальну різницю, можна розрахувати значення ряду в конкретній точці в майбутньому, а також визначити середнє значення.