Як розрахувати комбінації та перестановки

Припустимо, у вас є n типів предметів, і ви хочете вибрати колекцію з них. Ми можемо захотіти ці предмети в певному порядку. Ми називаємо ці набори елементів перестановками. Якщо порядок не має значення, ми називаємо набір комбінацій колекцій. Як для комбінацій, так і для перестановок ви можете розглянути випадок, коли ви вибрали деякі з n типів більше ніж один раз, що називається «з повторенням», або випадок, коли ви обираєте кожен тип лише один раз, який називається «ні повторення '. Мета полягає в можливості підрахувати кількість комбінацій або перестановок, можливих у тій чи іншій ситуації.

Функція факторіалу часто використовується при обчисленні комбінацій та перестановок. Н! означає N × (N – 1) ×... × 2 × 1. Наприклад, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Кількість способів замовити набір предметів є факторіальною. Візьміть три літери a, b і c. У вас є три варіанти для першої літери, два для другої та лише один для третьої. Іншими словами, загалом 3 × 2 × 1 = 6 замовлень. Загалом, є п! способи замовлення n товарів.

Припустимо, у вас є три кімнати, які ви збираєтеся намалювати, і кожна з них буде пофарбована в один із п’яти кольорів: червоний (r), зелений (g), синій (b), жовтий (y) або оранжевий (o). Ви можете вибрати кожен колір скільки завгодно разів. У вас є на вибір п’ять кольорів для першої кімнати, п’ять для другої та п’ять для третьої. Це дає в цілому 5 × 5 × 5 = 125 можливостей. Загалом, кількість способів вибрати групу r елементів у певному порядку з n повторюваних варіантів дорівнює n ^ r.

Тепер припустимо, кожна кімната буде іншого кольору. Ви можете вибрати з п’яти кольорів для першої кімнати, чотирьох для другої та лише трьох для третьої. Це дає 5 × 4 × 3 = 60, що просто буває 5! / 2!. Загалом, кількість незалежних способів вибору r елементів у певному порядку з n неповторюваних варіантів дорівнює n! / (N – r) !.

Далі забудьте про те, яка кімната якого кольору. Просто виберіть три незалежних кольори для колірної схеми. Порядок тут не має значення, тому (червоний, зелений, синій) - це те саме, що (червоний, синій, зелений). Для будь-якого вибору з трьох кольорів є 3! способи їх замовлення. Отже, ви зменшуєте кількість перестановок на 3! отримати 5! / (2! × 3!) = 10. Взагалі, ви можете вибрати групу r елементів у будь-якому порядку з добірки n неповторюваних варіантів n! / [(N – r)! × r!] Способами.

Нарешті, вам потрібно створити колірну схему, в якій ви можете використовувати будь-який колір скільки завгодно разів. Розумний бухгалтерський код допомагає цьому підрахунку завдань. Використовуйте три символи X для представлення кімнат. Список кольорів представлений символом "rgbyo". Змішайте X у своєму списку кольорів і зв’яжіть кожен X із першим кольором ліворуч від нього. Наприклад, rgXXbyXo означає, що перша кімната зелена, друга зелена і третя жовта. X повинен мати принаймні один колір ліворуч, тому для першого X доступно п’ять слотів. Оскільки зараз список включає X, є шість доступних слотів для другого X і сім доступних слотів для третього X. Загалом існує 5 × 6 × 7 = 7! / 4! способи написання коду. Однак порядок номерів довільний, тому насправді існує лише 7! / (4! × 3!) Унікальних композицій. Загалом, ви можете вибрати r елементів у будь-якому порядку з n повторюваних варіантів (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!].