Оволодіння поняттями синус і косинус є невід’ємною частиною тригонометрії. Але коли у вас є ці ідеї під вашим поясом, вони стають основою для інших корисних інструментів у тригонометрії та, пізніше, в числення. Наприклад, "закон косинусів" - це спеціальна формула, за допомогою якої ви можете знайти відсутність сторони трикутника, якщо знаєте довжини двох інших сторін плюс кут між ними, або щоб знайти кути трикутника, коли ви знаєте всі три сторони.
Закон косинусів
Закон косинусів існує в декількох варіантах, залежно від того, з якими кутами чи сторонами трикутника ви маєте справу:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
У кожному випадкуа, bіc- сторони трикутника, іA, B, абоC.- кут, протилежний стороні тієї самої літери. ТакA- кут, протилежний стороніa, B- кут, протилежний стороніb, іC.- кут, протилежний стороніc. Це форма рівняння, яке ви використовуєте, якщо знаходите довжину однієї зі сторін трикутника.
Закон косинусів також можна переписати у варіантах, які полегшують пошук будь-якого з трьох кутів трикутника, припускаючи, що ви знаєте довжини всіх трьох сторін трикутника:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Вирішення для сторони
Для того, щоб використовувати закон косинусів для розв’язання сторони трикутника, вам потрібні три відомості: довжини двох інших сторін трикутника плюс кут між ними. Виберіть версію формули, де сторона, яку ви хочете знайти, знаходиться ліворуч від рівняння, а інформація, яку ви вже маєте, - праворуч. Тож якщо ви хочете знайти довжину сторониа, ви б використовували версію
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Підставте значення двох відомих сторін та кут між ними у формулу. Якщо ваш трикутник має відомі сторониbіcщо вимірюють 5 одиниць та 6 одиниць відповідно, а кут між ними вимірює 60 градусів (що також може бути виражене в радіанах як π / 3), ви мали б:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
За допомогою таблиці або калькулятора знайдіть значення косинуса; у цьому випадку cos (60) = 0,5, отримуючи рівняння:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Спростіть результат кроку 2. Це дає вам:
a ^ 2 = 25 + 36-30
Що в свою чергу спрощує:
a ^ 2 = 31
Візьміть квадратний корінь з обох сторін, щоб закінчити вирішенняа. Це залишає вам:
a = \ sqrt {31}
Хоча ви можете використовувати діаграму або калькулятор для оцінки значення 31 (це 5.568), вам часто дозволяють - і навіть заохочують - залишити відповідь у більш точній радикальній формі.
Вирішення для кута
Ви можете застосувати той самий процес, щоб знайти будь-який з кутів трикутника, якщо ви знаєте всі три його сторони. Цього разу ви оберете версію формули, яка ставить відсутній або "не знаю" кут на лівій стороні знака рівності. Уявіть, що ви хочете знайти міру кута C (який, пам’ятайте, визначається як кут, протилежний стороніc). Ви б використали цю версію формули:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Підставте відомі значення - у задачі цього типу, що означає довжини всіх трьох сторін трикутника - у рівняння. Як приклад, нехай будуть сторони вашого трикутникаа= 3 одиниці,b= 4 одиниці іc= 25 одиниць. Отже, ваше рівняння стає:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Після спрощення отриманого рівняння ви отримаєте:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
або просто cos (C.) = 0.
Обчисліть обернений косинус або дуговий косинус 0, часто позначений як cos-1(0). Або, іншими словами, який кут має косинус 0? Насправді є два кути, які повертають це значення: 90 градусів і 270 градусів. Але за визначенням ви знаєте, що кожен кут у трикутнику повинен бути менше 180 градусів, тож, як варіант, залишається лише 90 градусів.
Отже, міра вашого відсутнього кута становить 90 градусів, а це означає, що ви, мабуть, маєте справу з прямокутним трикутником, хоча цей метод працює і з не прямокутними трикутниками.