Закон синусів і закон косинусів - це тригонометричні формули, що відносять міри кутів трикутника до довжин його сторін. Вони випливають із властивості, що більші кути у трикутниках мають пропорційно більші протилежні сторони. За допомогою закону синусів або закону косинусів обчисліть довжини сторін трикутника та чотирикутника (а чотирикутник - це, по суті, два сусідні трикутники), якщо ви знаєте міру однієї сторони, одного кута та однієї додаткової сторони або кут.
Знайдіть дані трикутника. Дані - це довжина сторін і міри кутів, які вже відомі. Ви не можете знайти міру довжин сторін трикутника, якщо не знаєте міру одного кута, однієї сторони та іншої сторони, або іншого кута.
За допомогою заданих даних визначте, чи трикутник є трикутником ASA, AAS, SAS або ASS. Трикутник ASA має два кути як задані, а також сторону, що з'єднує два кути. Трикутник ААС має два кути та різну сторону як дані. Трикутник SAS має дві сторони як задані, а також кут, утворений двома сторонами. Трикутник ASS має дві сторони та інший кут, як дані.
За допомогою закону синусів встановіть рівняння, що стосується довжин сторін, якщо це трикутник ASA, AAS або ASS. Закон синусів говорить, що відношення синусів кутів трикутника та їх протилежних сторін рівні:
\ sin \ bigg (\ frac {A} {a} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {B} {b} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {C} {c} \ bigg)
деa, bіc- протилежні довжини сторін кутівA, BіC.відповідно.
Наприклад, якщо ви знаєте, що два кути дорівнюють 40 градусам і 60 градусам, а сторона, яка приєднується до них, була довгою 3 одиниці, ви встановите рівняння:
\ sin \ bigg (\ frac {80} {3} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {40} {b} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {60} {c} \ bigg)
Ви знаєте, кут, протилежний стороні довжиною 3 одиниці, дорівнює 80 градусам, оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180 градусам.
За допомогою закону косинусів встановіть рівняння, що стосується довжин сторін, якщо це трикутник SAS. Закон косинусів стверджує, що:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos C
Іншими словами, квадрат довжини сторони c дорівнює квадратам двох інших довжин сторін, мінус добуток цих двох сторін та косинус кута, протилежного невідомої стороні. Наприклад, якщо дві сторони становили 3 одиниці та 4 одиниці, а кут становив 60 градусів, ви б написали рівняння
c ^ 2 = 3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 34 × \ cos 60
Розв’яжіть змінні у рівняннях, щоб знайти невідомі довжини трикутника. Вирішення дляbв рівнянні
\ sin \ bigg (\ frac {80} {3} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {40} {b} \ bigg)
дає значення
b = 3 × \ frac {\ sin (40)} {\ sin (80)}
такbдорівнює приблизно 2. Вирішення дляcв рівнянні
\ sin \ bigg (\ frac {80} {3} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {60} {c} \ bigg)
дає значення
c = 3 × \ frac {\ sin (60)} {\ sin (80)}
такcстановить приблизно 2,6. Аналогічним чином, вирішення дляcв рівнянні
c ^ 2 = 3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 34 × \ cos (60)
дає значення
c ^ 2 = 25 - 6 \ text {або} c ^ 2 = 19
такcстановить приблизно 4,4.