Більшість людей пам’ятаютьТеорема Піфагоравід початківців геометрії - це класика. Його
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
деа, bіc- сторони прямокутного трикутника (cє гіпотенуза). Ну, цю теорему можна також переписати для тригонометрії!
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
Тотожності Піфагора - це рівняння, що записують теорему Піфагора через тригг функції.
ГоловнийПіфагорейські ідентичностіє:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ койка ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Прикладом є піфагорійська ідентичністьтригонометричні тотожності: рівності (рівняння), що використовують тригонометричні функції.
Чому це важливо?
Тотожності Піфагора можуть бути дуже корисними для спрощення складних тригерівних тверджень та рівнянь. Запам’ятайте їх зараз, і ви зможете заощадити багато часу в дорозі!
Доказ з використанням визначень триго функцій
Ці тотожності досить просто довести, якщо подумати над визначеннями функцій тригера. Наприклад, докажемо це
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Пам'ятайте, що визначення синуса - це протилежна сторона / гіпотенуза, а косинус - сусідня сторона / гіпотенуза.
Так
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {навпроти} ^ 2} {\ text {гіпотенуза} ^ 2}
І
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {суміжний} ^ 2} {\ text {гіпотенуза} ^ 2}
Ви можете легко скласти ці два разом, оскільки знаменники однакові.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {навпроти} ^ 2 + \ text {суміжний} ^ 2} {\ text {гіпотенуза} ^ 2}
А тепер погляньте ще раз на теорему Піфагора. Це говорить про цеа2 + b2 = c2. Майте на увазі, щоаіbстояти на протилежній і сусідній сторонах, іcозначає гіпотенуза.
Ви можете переставити рівняння, поділивши обидві сторони наc2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Оскількиа2 іb2 - це протилежні та суміжні сторони іc2 є гіпотенузою, у вас є твердження, еквівалентне наведеному вище, з (протилежне2 + суміжний2) / гіпотенуза2. І завдяки роботі са, b, cі теореми Піфагора, тепер ви можете бачити, що це твердження дорівнює 1!
Так
\ frac {\ text {навпроти} ^ 2 + \ text {суміжний} ^ 2} {\ text {гіпотенуза} ^ 2} = 1
і тому:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(І краще це правильно виписати: гріх2(θ) + cos2(θ) = 1).
Взаємні ідентичності
Давайте витратимо кілька хвилин на розглядвзаємні ідентичностітак само. Пам'ятайте, щовзаємнийце число, поділене на ("над") вашим числом - також відомим як зворотне.
Оскільки косеканс є оборотним синусом:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Ви також можете подумати про косеканс, використовуючи визначення синуса. Наприклад, синус = протилежна сторона / гіпотенуза. Оберненим до цього буде дріб, перевернутий догори дном, тобто гіпотенуза / протилежна сторона.
Подібним чином, зворотне значення косинуса є секунтом, тому воно визначається як
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {або} \ frac {\ text {гіпотенуза}} {\ text {сусідня сторона}}
А реципрочна відповідність дотичної є котангенсом, отже
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {сусідня сторона}} {\ text {протилежна сторона}}
Докази піфагорейських тотожностей із використанням секансу та косекансу дуже схожі на докази синуса та косинуса. Ви також можете вивести рівняння, використовуючи "батьківське" рівняння, sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Поділіть обидві сторони на cos2(θ), щоб отримати ідентичність 1 + загар2(θ) = сек2(θ). Розділіть обидві сторони гріхом2(θ), щоб отримати посвідчення особи 1 + дитяче ліжечко2(θ) = csc2(θ).
Удачі вам і обов’язково запам’ятайте три піфагорійські ідентичності!