Як і в алгебрі, коли ви починаєте вивчати тригонометрію, ви накопичуєте набори формул, корисних для вирішення проблем. Одним з таких наборів є напівкутові ідентичності, які ви можете використовувати для двох цілей. Одним з них є перетворення тригонометричних функцій (θ/ 2) на функції з точки зору більш звичних (і ними легше керувати)θ. Інший - знайти фактичне значення тригонометричних функційθ, колиθможна виразити як половину більш звичного кута.
Перегляд напівкутових ідентичностей
У багатьох підручниках з математики буде перелічено чотири первинні ідентичності напівкута. Але, застосовуючи поєднання алгебри та тригонометрії, ці рівняння можна перетворити на ряд корисних форм. Не обов’язково запам’ятовувати все це (якщо ваш учитель не наполягає на цьому), але ви повинні, принаймні, розуміти, як ними користуватися:
Напівкутова ідентичність для синуса
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Напівкутова ідентичність для косинуса
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Напівкутові тотожності для дотичної
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Напівкутові ідентичності для котангенсу
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Приклад використання напівкутових тотожностей
То як ви використовуєте ідентичності з півкутом? Першим кроком є усвідомлення того, що ви маєте справу з кутом, який є половиною більш звичного кута.
- Квадрант I: усі триггерні функції
- Квадрант II: тільки синус і косекант
- Квадрант III: лише тангенс і котангенс
- Квадрант IV: тільки косинус і секант
уявіть, що вам пропонується знайти синус кута 15 градусів. Це не один з кутів, за якими більшість учнів запам’ятовуватиме значення тригольних функцій. Але якщо ви дозволите 15 градусів дорівнювати θ / 2, а потім вирішити для θ, ви виявите, що:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Оскільки отриманий θ, 30 градусів, є більш звичним кутом, використання формули напівкута тут буде корисним.
Оскільки вас попросили знайти синус, насправді є лише одна формула напівкута на вибір:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Підставляючи вθ/ 2 = 15 градусів іθ= 30 градусів дає вам:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Якби вам запропонували знайти тангенс або котангенс, обидва з яких наполовину помножують способи вираження своєї ідентичності напівкута, ви просто вибрали б версію, яка виглядала найпростішою в роботі.
Знак ± на початку деяких тотожностей напівкута означає, що корінь, про який йде мова, може бути позитивним чи негативним. Ви можете вирішити цю двозначність, використовуючи свої знання тригонометричних функцій у квадрантах. Ось короткий підсумок того, які функції тригера повертаютьсяпозитивнізначення, в яких квадранти:
Оскільки в цьому випадку ваш кут θ представляє 30 градусів, що потрапляє в квадрант I, ви знаєте, що значення синуса, яке він повертає, буде додатним. Тож ви можете скинути знак ± і просто оцінити:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Підставимо у знайоме, відоме значення cos (30). У цьому випадку використовуйте точні значення (на відміну від десяткових наближень з діаграми):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Далі спростіть праву частину рівняння, щоб знайти значення для гріха (15). Почніть з множення виразу під радикалом на 2/2, що дає вам:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Це спрощує:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Потім можна віднести квадратний корінь з 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
У більшості випадків це приблизно настільки, наскільки ви спростите. Хоча результат може бути не дуже гарним, ви перевели синус незнайомого кута в точну величину.