У математиці та геометрії однією з навичок, яка відрізняє експертів від претендентів, є знання прийомів та комбінацій клавіш. Час, який ви витрачаєте на їх вивчення, окупається тим, що заощаджуєте час, коли вирішуєте проблеми. Наприклад, варто знати два спеціальні прямокутні трикутники, які, як тільки ви їх розпізнаєте, швидко вирішити. Зокрема, двома трикутниками є 30-60-90 та 45-45-90.
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
Два спеціальні прямокутні трикутники мають внутрішні кути 30, 60 і 90 градусів, а також 45, 45 і 90 градусів.
Про прямокутні трикутники
Трикутники - це тригранні багатокутники, внутрішні кути яких складають до 180 градусів. Прямокутний трикутник - це особливий випадок, коли один із кутів дорівнює 90 градусам, тому два інших кути за визначенням повинні складати до 90. Синус, косинус, тангенс та інші тригонометричні функції забезпечують способи обчислення внутрішніх кутів прямокутних трикутників, а також довжини їх сторін. Іншим необхідним засобом обчислення для прямокутних трикутників є теорема Піфагора, яка стверджує що квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторони, або
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Розв’язування спеціальних прямокутних трикутників
Коли ви працюєте над будь-якою проблемою прямокутного трикутника, вам зазвичай дають принаймні один кут і одну сторону і пропонують обчислити решту кутів і сторін. Використовуючи наведену вище формулу Піфагора, ви можете обчислити довжину будь-якої сторони, якщо вам дано дві інші. Великою перевагою спеціальних прямокутних трикутників є те, що пропорції довжин їх сторін завжди однакові, тому ви можете знайти довжину всіх сторін, якщо вам дано лише одну. Крім того, якщо вам дана лише одна сторона, а трикутник особливий, ви також можете знайти значення кутів.
Трикутник 30-60-90
Як випливає з назви, прямокутний трикутник 30-60-90 має внутрішні кути 30, 60 і 90 градусів. Як наслідок, сторони цього трикутника потрапляють у пропорції, 1: 2: √3, де 1 і √3 - довжини протилежних та суміжних сторін, а 2 - гіпотенуза. Ці числа завжди поєднуються: якщо ви вирішите сторони прямокутного трикутника і виявите, що вони відповідають шаблону, 1, 2, √3, ви знаєте, кути становитимуть 30, 60 і 90 градусів. Так само, якщо вам задано один із кутів як 30, ви знаєте, що інші два - це 60 і 90, а також що сторони будуть мати пропорції, 1: 2: √3.
Трикутник 45-45-90
Трикутник 45-45-90 працює майже так само, як 30-60-90, за винятком того, що два кути рівні, як і протилежні та суміжні сторони. Він має внутрішні кути 45, 45 і 90 градусів. Пропорції сторін трикутника дорівнюють 1: 1: √2, при цьому частка гіпотенузи дорівнює √2. Дві інші сторони рівні за довжиною одна одній. Якщо ви працюєте над прямокутним трикутником, а один із внутрішніх кутів дорівнює 45 градусам, ви знаєте в миттєво, що кут, що залишився, також повинен бути 45 градусів, оскільки весь трикутник повинен складати 180 градусів.
Сторони та пропорції трикутника
Вирішуючи два спеціальні прямокутні трикутники, майте на увазі, що цепропорціїсторін, що мають значення, а не їх вимірювання в абсолютних величинах. Наприклад, трикутник має сторони, які вимірюють 1 фут, 1 фут і √2 фути, тому ви знаєте, що це трикутник 45-45-90 і має внутрішні кути 45, 45 і 90 градусів.
Але що ви робите з прямокутним трикутником, сторони якого вимірюють 17 футів та 17 футів? Пропорції сторін є ключовими. Оскільки дві сторони однакові, пропорція дорівнює одна одній 1: 1, а оскільки це прямокутний трикутник, то частка гіпотенузи дорівнює 1: :2 з будь-якою з інших сторін. Рівні пропорції підказують, що сторони дорівнюють 1, 1, √2, що належить лише спеціальному трикутнику 45-45-90. Щоб знайти гіпотенузу, помножте √17 на √2, щоб отримати √34 футів.