Іноді єдиний спосіб пройти математичні розрахунки - груба сила. Але раз у раз ви можете заощадити багато роботи, розпізнаючи особливі проблеми, для вирішення яких ви можете використовувати стандартизовану формулу. Знаходження суми кубів і знаходження різниці кубів - два приклади саме цього: Як тільки ви знаєте формули факторингуа3 + b3 абоа3 - b3, знайти відповідь так само просто, як замінити значення a і b у правильну формулу.
Введення його в контекст
По-перше, короткий огляд того, чому вам може знадобитися знайти - або, більш доречно, “коефіцієнт” - суми чи різницю кубів. Коли концепція вперше вводиться, це сама по собі проста математична задача. Але якщо ви продовжуватимете вивчати математику, згодом це стане проміжним етапом у більш складних розрахунках. Тож якщо ви отримаєтеа3 + b3 абоа3 − b3 як відповідь під час інших обчислень, ви можете використовувати навички, які збираєтесь навчитися розбивати кубиками цифри на простіші компоненти, що часто полегшує продовження вирішення оригіналу проблема.
Розділення факторів на суму кубів
Уявіть, що ви дійшли до двочлена
x ^ 3 + 27
і просять його спростити. Перший термін,х3, очевидно, є кубовим числом. Після невеликого огляду ви зможете побачити, що друге число насправді теж кубове число: 27 - це те саме, що 33. Тепер, коли ви знаєте, що обидва числа є кубами, ви можете застосувати формулу для суми кубів.
Випишіть обидва числа в кубічній формі, якщо це ще не так. Щоб продовжити цей приклад, у вас буде:
x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3
Коли ви звикнете до процесу, ви можете пропустити цей крок і перейти безпосередньо до заповнення значень з кроку 1 у формулу. Але особливо коли ви навчаєтесь, найкраще йти крок за кроком і нагадувати собі про формулу:
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Порівняйте ліву частину цього рівняння з результатом кроку 1. Зверніть увагу, що ви можете замінитихзамістьа,і 3 замістьb.
Підставте значення з кроку 1 у формулу на кроці 2. Отже, у вас є:
x ^ 3 + 3 ^ 3 = (x + 3) (x ^ 2 - 3x + 3 ^ 2)
На даний момент прихід у праву частину рівняння представляє вашу відповідь. Це результат множення суми двох кубічних чисел.
Факторинг різниці кубиків
Факторинг різниці двох кубових чисел працює однаково. Насправді формула майже ідентична формулі суми кубів. Але є одна критична різниця: зверніть особливу увагу на те, куди йде знак мінус.
Уявіть, що у вас проблема
y ^ 3 - 125
і це потрібно врахувати. Як і раніше,р3 є очевидним кубом, і, трохи подумавши, ви зможете зрозуміти, що 125 насправді 53. Отже, у вас є:
y ^ 3 - 125 = y ^ 3 - 5 ^ 3
Як і раніше, випишіть формулу різниці кубів. Зверніть увагу, що ви можете замінитирдляаі 5 заb, і зверніть особливу увагу на те, куди в цій формулі йде знак мінус. Розташування знака мінус - це єдина різниця між цією формулою та формулою для суми кубів.
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Випишіть формулу ще раз, на цей раз підставляючи значення з кроку 1. Це дає:
y ^ 3 - 5 ^ 3 = (y - 5) (y ^ 2 + 5y + 5 ^ 2)
Знову ж таки, якщо все, що вам потрібно зробити, це врахувати різницю кубів, це ваша відповідь.