В математиці радикал - це будь-яке число, що включає знак кореня (√). Число під кореневим знаком є квадратним коренем, якщо перед кореневим знаком не стоїть верхній індекс, перед ним стоїть верхній індекс куба 3 (3√), четвертий корінь, якщо перед ним є 4 (4√) тощо. Багато радикалів не можна спростити, тому поділ на один вимагає спеціальних алгебраїчних прийомів. Щоб ними скористатися, пам’ятайте про ці алгебраїчні рівності:
\ sqrt {\ frac {a} {b}} = \ frac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {b}}
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b}
Чисельний квадратний корінь у знаменнику
Загалом вираз із числовим квадратним коренем у знаменнику виглядає так:
\ frac {a} {\ sqrt {b}}
Щоб спростити цей дріб, ви раціоналізуєте знаменник, помноживши весь дріб на √b/√b.
Тому що
\ sqrt {b} × \ sqrt {b} = \ sqrt {b ^ 2} = b
вираз стає
\ frac {a \ sqrt {b}} {b}
Приклади:
1. Обґрунтуйте знаменник дробу
\ frac {5} {\ sqrt {6}}
Рішення:Помножте дріб на √6 / √6
\ frac {5 \ sqrt {6}} {\ sqrt {6} \ sqrt {6}} \\ \, \\ \ frac {5 \ sqrt {6}} {6} \ text {або} \ frac {5 } {6} × \ sqrt {6}
2. Спростіть дріб
\ frac {6 \ sqrt {32}} {3 \ sqrt {8}}
Рішення:У цьому випадку ви можете спростити, розділивши числа поза знаком радикала та числа всередині нього на дві окремі операції:
\ frac {6} {3} = 2 \\ \, \\ \ frac {\ sqrt {32}} {\ sqrt {8}} = \ sqrt {4} = 2
Вираз зводиться до
2 × 2 = 4
Поділ на кубикові корені
Та сама загальна процедура застосовується, коли радикалом у знаменнику є куб, четвертий або вищий корінь. Щоб раціоналізувати знаменник із коренем куба, потрібно шукати число, яке, помножене на число під радикальним знаком, дає третє число степеня, яке можна вийняти. Загалом, раціоналізуйте кількість
\ frac {a} {\ sqrt [3] {b}} \ text {множенням на} \ frac {\ sqrt [3] {b ^ 2}} {\ sqrt [3] {b ^ 2}}
Приклад:
1. Раціоналізувати
\ frac {5} {\ sqrt [3] {5}}
Помножте чисельник і знаменник на 3√25.
\ frac {5 × \ sqrt [3] {25}} {\ sqrt [3] {5} × \ sqrt [3] {25}} \\ \, \\ = \ frac {5 \ sqrt [3] { 25}} {\ sqrt [3] {125}} \\ \, \\ = \ frac {5 \ sqrt [3] {25}} {5}
Цифри поза радикальним знаком скасовуються, і відповідь така
\ sqrt [3] {25}
Змінні з двома термінами в знаменнику
Коли радикал у знаменнику включає два доданки, ви, як правило, можете спростити його, помноживши на його спряжений. Кон'югат включає ті самі два терміни, але ви змінюєте знак між ними Наприклад, кон'югат від
x + y \ text {є} x - y
Помноживши їх разом, ви отримаєте
x ^ 2 - y ^ 2
Приклад:
1. Раціоналізувати знаменник
\ frac {4} {x + \ sqrt {3}}
Рішення: Помножте верх і низ на x - √3
\ frac {4 (x - \ sqrt {3})} {(x + \ sqrt {3}) (x - \ sqrt {3})}
Спростіть:
\ frac {4x - 4 \ sqrt {3}} {x ^ 2 - 3}