Ви коли-небудь задавались питанням, як пов’язані тригонометричні функції, такі як синус і косинус? Вони обидва використовуються для обчислення сторін і кутів у трикутниках, але взаємозв'язок йде далі, ніж це.Коофункціональні ідентичностідайте нам конкретні формули, які показують, як перетворити між синусом і косинусом, тангенсом і котангенсом, а також сексантом і косекансом.
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
Синус кута дорівнює косинусу його доповнення і навпаки. Це справедливо і для інших функцій.
Простий спосіб запам’ятати, які функції є кофункціями, полягає в тому, що це дві тригерівні функціїкофункціїякщо один із них має перед собою префікс "co-". Так:
- синус іспівпрацясинуси єспівпрацяфункції.
- дотична іспівпрацядотичні єспівпрацяфункції.
- сексант іспівпрацясекундаспівпрацяфункції.
Ми можемо розрахувати між кофункціями туди і назад, використовуючи це визначення: Значення функції кута дорівнює значенню кофункції доповнення.
Це звучить складно, але замість того, щоб говорити про значення функції взагалі, давайте використаємо конкретний приклад.
синускута дорівнюєкосинусйого доповнення. І те саме стосується інших кофункцій: тангенс кута дорівнює котангенсу його доповнення.Запам’ятайте: два кути - цедоповнюєякщо вони складають до 90 градусів.
Ідентичності співпраці в градусах:
(Зверніть увагу, що 90 ° -хдає нам доповнення кута.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ ліжечко (90 ° - x) \\ \ ліжечко (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Тотожності в радіанах
Пам'ятайте, що ми також можемо писати речі в термінахрадіани, що є одиницею СІ для вимірювання кутів. Дев'яносто градусів - це те саме, що π / 2 радіани, тому ми також можемо записати тотожності кофункцій так:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ ліжечко (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Доказ тотожностей функції
Все це звучить приємно, але як ми можемо довести, що це правда? Випробування цього на кількох прикладах трикутників може допомогти вам почуватись впевнено в цьому, але є й більш суворе алгебраїчне підтвердження. Доведемо тотожності тотожності функцій синуса та косинуса. Ми будемо працювати в радіанах, але це те саме, що використовувати градуси.
Доказ:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Перш за все, поверніться у своїй пам’яті до цієї формули, тому що ми будемо використовувати її для підтвердження:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Зрозумів? ГАРАЗД. Тепер докажемо: гріх (х) = cos (π / 2 - x).
Ми можемо переписати cos (π / 2 -х) подобається це:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( х)
тому що ми знаємо
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {і} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Так
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Та-да! Тепер докажемо це косинусом!
Доказ:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Ще один вибух із минулого: пам’ятаєте цю формулу?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Ми ось-ось його використаємо. Тепер докажемо:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Ми можемо переписати гріх (π / 2 -х) подобається це:
\ початок {вирівняний} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {align}
тому що ми знаємо
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {і} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Отож отримуємо
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Калькулятор співпраці
Спробуйте кілька прикладів самостійної роботи з кофункціями. Але якщо ви застрягли, Math Celebrity має калькулятор співпраці, який показує поетапні рішення проблем з кофункцією.
Щасливого розрахунку!