У математиці контрприклад використовується для спростування твердження. Якщо ви хочете довести, що твердження відповідає дійсності, ви повинні написати доказ, щоб продемонструвати, що воно завжди відповідає дійсності; наведення прикладу недостатньо. У порівнянні з написанням доказу написання контраприкладу набагато простіше; якщо ви хочете показати, що твердження не відповідає дійсності, вам потрібно навести лише один приклад сценарію, коли твердження є хибним. Більшість контрприкладів в алгебрі передбачають числові маніпуляції.
Два класи математики
Корекція та пошук контраприкладів - два основні класи математики. Більшість математиків зосереджуються на дописі, щоб розробити нові теореми та властивості. Коли твердження чи домисли неможливо довести за правду, математики спростовують їх, даючи контрприклади.
Контрприклади конкретні
Замість використання змінних та абстрактних позначень, ви можете використовувати числові приклади, щоб спростувати аргумент. В алгебрі більшість контрприкладів передбачають маніпуляції з використанням різних позитивних і негативних чи непарних і парних чисел, крайніх випадків та спеціальних чисел, таких як 0 і 1.
Достатньо одного контрприкладу
Філософія контрприкладу полягає в тому, що якщо за одним сценарієм твердження не відповідає дійсності, то твердження є хибним. Нематематичний приклад - "Том ніколи не говорив неправду". Щоб показати, що це твердження відповідає дійсності, ви повинні надати "доказ" того, що Том ніколи не говорив неправди, відстежуючи кожну заяву Тома. Однак, щоб спростувати це твердження, вам потрібно показати лише одну брехню, яку Том коли-небудь говорив.
Відомі Контрприклади
"Усі прості числа непарні." Хоча майже всі прості числа, включаючи всі прості числа вище 3, непарні, "2" - просте число, яке є парним; це твердження хибне; "2" - відповідний контраприклад.
"Віднімання є комутативним". І додавання, і множення є комутативними - їх можна виконувати в будь-якому порядку. Тобто для будь-яких дійсних чисел a і b a + b = b + a та a * b = b * a. Однак віднімання не є комутативним; Контрприклад, що доводить це: 3 - 5 не дорівнює 5 - 3.
"Кожна безперервна функція диференціюється." Абсолютна функція | x | неперервна для всіх додатних і від’ємних чисел; але він не диференціюється при x = 0; оскільки | x | є неперервною функцією, цей контраприклад доводить, що не кожна неперервна функція є диференційованою.