Якщо ви давно займаєтеся математикою, то, напевно, стикалися з показниками ступеня. Показником називається число, яке називається базовим, за яким слідує інше число, яке зазвичай пишеться в верхньому індексі. Друге число - показник степеня або степеня. Це говорить вам, скільки часу помножувати основу на себе. Наприклад, 82 означає помножити 8 на себе двічі, щоб отримати 16 і 103 означає 10 × 10 × 10 = 1000. Коли у вас є від’ємні показники, правило від’ємного показника диктує, що замість того, щоб множити основу на вказану кількість разів, ви ділите основу на 1 таку кількість разів. Так
8 ^ {-2} = \ frac {1} {8 × 8} = \ frac {1} {64} \ text {і} 10 ^ {- 3} = \ frac {1} {10 × 10 × 10} = \ frac {1} {1000} = 0,001
Можна висловити узагальнене від’ємний показник степеня визначення письмово:
x ^ {- n} = \ frac {1} {x ^ n}
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
Щоб помножити на від’ємний показник, відніміть цей показник. Щоб поділити на від’ємний показник, додайте цей показник.
Множення від’ємних показників
Маючи на увазі, що помножувати показники степеня можна лише в тому випадку, якщо вони мають однакову основу, загальним правилом множення двох чисел, піднятих на показники, є додавання показників. Наприклад:
x ^ 5 × x ^ 3 = x ^ {(5 +3)} = x ^ 8
Щоб зрозуміти, чому це правда, зверніть увагу на цех5 засоби (х × х × х × х × х) іх3 засоби (х × х × х). Помноживши ці умови, ви отримуєте (х × х × х × х × х × х × х × х) = х8.
Негативний показник степеня означає розділити основу, підняту до цієї степені, на 1. Так
x ^ 5 × x ^ {-3} = x ^ 5 × \ frac {1} {x ^ 3} = (x × x × x × x × x) × \ frac {1} {x × x × x}
Це простий поділ. Ви можете скасувати три знаки x, залишивши (x × x) або x2. Іншими словами, ви, коли множите на від’ємний показник, ви все одно додаєте показник ступеня, але оскільки він від’ємний, це еквівалентно його відніманню. Загалом,
x ^ n × x ^ {- m} = x ^ {(n - m)}
Поділ від’ємних показників
Відповідно до визначення негативного показника ступеня:
x ^ {- n} = \ frac {1} {x ^ n}
Якщо ділити на від’ємний показник, це еквівалентно множенню на той самий показник, лише позитивний. Щоб зрозуміти, чому це правда, розгляньте
\ frac {1} {x ^ {- n}} = \ frac {1} {1 / x ^ n} = x ^ n
Наприклад, число
\ frac {x ^ 5} {x ^ {- 3}} = x ^ 5 × x ^ 3
Ви додаєте експоненти, щоб отриматих8. Правило:
\ frac {x ^ n} {x ^ {- m}} = x ^ {(n + m)}
Приклади
1. Спростіть
x ^ 5y ^ 4 × x ^ {- 2} y ^ 2
Збір показників:
x ^ {(5 - 2)} y ^ {(4 +2)} = x ^ 3y ^ 6
Ви можете маніпулювати експонентами, лише якщо вони мають однакову основу, тому ви не можете спрощувати далі.
2. Спростіть
\ frac {x ^ 3y ^ {- 5}} {x ^ 2 y ^ {- 3}}
Ділення на від’ємний показник еквівалентно множенню на той самий позитивний показник, тому ви можете переписати цей вираз:
\ початок {вирівняний} \ frac {(x ^ 3y ^ {- 5}) × y ^ 3} {x ^ 2} & = x ^ {(3 - 2)} y ^ {(- 5 + 3)} \ \ & = xy ^ {- 2} \\ & = \ frac {x} {y ^ 2} \ end {align}
3. Спростіть
\ frac {x ^ 0y ^ 2} {xy ^ {- 3}}
Будь-яке число, підняте до показника 0, дорівнює 1, тому ви можете переписати цей вираз, щоб прочитати:
x ^ {- 1} y ^ {(2 + 3)} = \ frac {y ^ 5} {x}