Імпульс кута: визначення, рівняння, одиниці виміру (з діаграмами та прикладами)

Розгляньте сцену: Ви та ваш друг через проблеми, які не піддаються контролю, стоять на вершині довгої, похилої вниз рампи. Кожному з вас подарована куля в радіусі рівно 1 м. Вам сказали, що ваш виготовлений з однорідного піноподібного матеріалу і має масу 5 кг. М'яч вашого друга також має масу 5 кг, що ви перевіряєте за допомогою зручної ваги.

Ваш друг хоче покласти вам пари, що якщо ви відпустите два кулі одночасно, ваш перший дійде до дна. Ви спокушаєтесь стверджувати, що оскільки кулі мають однакову масу і однаковий радіус (а отже, і об’єм), вони будуть прискорюватися силою тяжіння вниз по рампі до однакової швидкості протягом усього спуску. Але щось зупиняє ваш "імпульс" ставок, і ви не приймаєте ставку ...

... розумно, як виявляється. Хоча спочатку це не має сенсу, м’яч вашого друга, мабуть, ваш близнюк, рухається вниз по рампі повільніше, ніж ваш. Після закінчення експерименту ви вимагаєте демонтувати кульки та дослідити їх на наявність хитрощів. Натомість ви знайдете лише те, що 5 кг маси в кулі вашого друга були прикріплені до тонкої оболонки навколо, з внутрішньою порожниною.

А як щодо описаної вище конфігурації нахиляє значення v на користь вашої кулі? Як буває, так самосилизмінитилінійний імпульсоб'єктів злінійна швидкість​, ​крутні моментизмінитимомент імпульсуоб'єктів зкутова швидкість​.

Твердий предмет кочення має як лінійний момент, так і кутовий момент, оскільки, оскільки його центр мас рухається з постійною швидкістю v (рівною до тангенціальної швидкості кулі або колеса), кожна інша частина об'єкта обертається навколо цього центру мас з кутовою швидкістю ω.

Те, як маса розподіляється в об’єкті, не впливає на його лінійний імпульс, але вишукано визначає його кутовий момент. Це робиться за допомогою "масоподібної" (для обертальних цілей) величини, яка називається моментом інерції, більшими значеннями що передбачає як більше труднощів з приводом того, що щось обертається, так і більше труднощів, щоб зупинити це, коли воно вже є обертовий.

Імпульс кута - міра того, наскільки важко змінити обертальний рух об’єкта. Це залежить від моменту інерції об’єкта та його кутової швидкості. Імпульс кута - це збережена величина, що означає, що сума кутових імпульсів частинок у замкнутій системі завжди однакова, навіть як і кількість окремих частинок може коливатися.

Як зазначалося, імпульс кута також є функцією розподілу маси навколо осі. Щоб зрозуміти це інтуїтивно, уявіть, що ви стоїте на відстані фута від центру величезної каруселі, яка робить один оборот кожні 10 секунд. А тепер уявіть, що ви знаходитесь на одній штуці з однаковою кутовою швидкістю, стоячи 1милівід центру. Для того, щоб уявити різницю в моменті кута в цих двох сценаріях, не потрібно багато уяви.

​Кутовий момент - це добуток моменту інерції, помноженого на його кутову швидкість, або:
​

деL= кутовий момент в кг ∙ м²/s,Я= момент інерції в кг ∙ м², і ω = кутова швидкість в радіанах за секунду (рад / с).

• ​Ятакож називається другим моментом площі.

Зверніть увагу, що обговорення розширилося від точкової маси до твердого тіла, такого як циліндр або куля, що обертається навколо осі. Центр маси об'єкта часто знаходиться не в його центрігеометричніцентр, тому значенняЯзалежать від того, як розподіляється маса об’єкта. Часто це симетрично, але не рівномірно, наприклад, порожнистий диск з усією масою у тонкій смужці зовні (іншими словами, кільце).

Вектор кутового моменту вказує вздовж осі обертання, перпендикулярно площині, утворенійр, круговий "розмах" будь-якої точки об'єкта через простір.

Довідкова діаграма для значенняЯдля різних типових форм можна знайти в Ресурсах. Використовуйте їх, щоб розпочати роботу з кількома основними завданнями моменту імпульсу.

• Зауважте, щоЯдля сферичної оболонки (2/3) мр² тоді як сфери - (2/5) мр². Повертаючись до ставки у вступі, тепер ви можете бачити, що м’яч вашого друга має (2/3) / (2/5) = 1,67 рази більше моменту інерції як ваш власний, пояснюючи ваш виграш у "перегонах".

1. Диск з інерцією обертанняЯ1,5 кг ∙ м²/ s обертається навколо осі з кутовою швидкістюω8 рад / с. Який його кутовий моментL​?

2. Тонкий стрижень довжиною 15 м масою 5 кг - скажімо, стрілка масивного годинника - обертається навколо точки, зафіксованої на одному кінці, з кутовою швидкістюω2π рад / 60 с = (π / 30) рад / с. Який його кутовий моментL​?

Цього разу вам потрібно шукати значенняЯ. Для тонкого стрижня, що рухається таким чином,Я= (1/3) мр²​.

Порівняйте це з відповіддю у першому прикладі. Вас це дивує? Чому чи чому б ні?

«Збереження» означає дещо інше у фізиці, ніж у сфері екосистем. Це просто означає, що загальна кількість збережених величин (енергія, імпульс, маса та інерція становлять "велика четвірка" (збережені величини у фізиці) у системі, включаючи Всесвіт, завжди залишається те саме. Якщо ви намагаєтесь "усунути" енергію, вона просто виявляється в іншій формі, і будь-яка спроба "створити" її покладається на вже існуюче джерело.

Закон збереження моменту імпульсу говорить, що в замкнутій системі загальний момент моменту не може змінюватися. Оскільки кутовий момент залежить від кутової швидкості та моменту інерції, можна передбачити, як кожна з цих величин повинна потім змінюватися по відношенню одна до одної в певній ситуації.

• Формально, оскільки крутний момент можна виразити якτ= dL/ dt (швидкість зміни кутового моменту з часом), коли сума крутних моментів у системі дорівнює нулю, тоді dL/ dt також повинен дорівнювати нулю, і не буде змінюватися кутовий момент в системі за той час, за який система оцінюється. І навпаки, якщо L не є постійним, це означає дисбаланс крутних моментів в системі (тобто,τ_чистийєнідорівнює нулю).

Це важливе поняття в багатьох прикладах механіки з повсякденного життя. Класичний приклад - фігуристка: коли вона стрибає в повітря, щоб зробити потрійну аксель, вона міцно втягує кінцівки. Це зменшує її загальний радіус навколо осі обертання, змінюючи розподіл маси так, що її момент інерції зменшується (пам’ятайте,Япропорційна mр²​).

Оскільки кутовий момент зберігається, однак, якщоЯзменшується, її кутова швидкість повинна зростати; ось так вона крутиться досить швидко, щоб виконати кілька обертань у повітрі! Коли він приземляється, вона робить зворотний бік - вона розводить кінцівки, змінюючи розподіл маси, щоб збільшити момент інерції, у свою чергу уповільнюючи швидкість обертання (кутову швидкість).

В цілому кутовий момент системи є постійним, але змінними, що визначають величину кутового моменту, можна маніпулювати і мати стратегічний ефект, як у цьому випадку.

Починаючи з 1600-х років, Ісаак Ньютон розпочав ефективну революцію в математичній фізиці. Спільно винайшовши числення, він мав гарну можливість висловлювати офіційні твердження про імовірно загальнолюдські закони управління рухом предметів, як поступальний (лінійно і в просторі), так і обертально (циклічно і приблизно) вісь).

• Різноманітнізакони збереженняпро які пізніше згадують, не є дітьми Ньютона, але між ними та законами руху існують значні взаємозв'язки.

​Перший закон Ньютонастверджує, що об'єкт, що перебуває в стані спокою або рухається з постійною швидкістю, залишатиметься в цьому стані, якщо на об'єкт не діє зовнішня сила. Це також називаєтьсязакон інерції.​

​Другий закон Ньютонастверджує, що чиста силаF_чистийдіє на частинку з масоюм, він буде мати тенденцію змінювати швидкість або прискорювати цю масу. Це відоме співвідношення виражається математично якF_чистий= ма​.

​Третій закон Ньютонаговорить, що для кожної сили, яка існує в природі, існує сила, рівна за величиною, але спрямована в абсолютно протилежному напрямку. Цей закон має важливе значення для збережених властивостей руху, включаючи кутовий момент.

Зараз чудовий час, щоб переглянути природу, правила та взаємозв’язки між нимисили​, ​імпульс(маса, помножена на швидкість) іенергія, які повідомляють не лише про дискусії щодо моменту імпульсу, але й про все інше в класичній фізиці.

Як зазначалося, якщо на об’єкт не діє зовнішня сила (або у випадку обертається об’єкта - зовнішній крутний момент), його рух продовжує залишатися незмінним. На Землі, проте, гравітація практично завжди в суміші, як і менший вплив повітряного опору та різних видів тертя сили, тому ніщо просто не рухається, якщо лише час від часу йому не дається енергія, щоб замінити те, що «береться» цими хронічними «рухами» злодії ".

Для спрощення частинка має aзагальна енергіяскладається звнутрішня енергія(наприклад, вібрація його молекул) імеханічна енергія. Механічна енергія - це сума поворотупотенційна енергія(PE; "накопичена" енергія, як правило, за допомогою сили тяжіння) ікінетична енергія(KE; енергія руху). Корисно, PE + KE + IE = константа для всіх систем, будь то точкова маса (одинична частинка) або різноманітні свистячі, взаємодіючі маси.

Коли ви чуєте такі терміни, що стосуються руху, такі як швидкість, прискорення, зміщення та імпульс, ви, мабуть, за замовчуванням вважаєте, що контекстом є лінійний рух. Насправді обертальний рух має свої унікальні, але аналогічні величини.

Тоді як лінійне переміщення вимірюється в метрах (м) в одиницях СІ, кутове переміщення вимірюється в радіанах (2π рад = 360 градусів). Відповідно,кутова швидкістьвимірюється в рад / с і представляєтьсяω, грецька буква омега.

Однак, коли точкова маса рухається навколо своєї осі обертання, крім кутової швидкості, частинка простежує круговий шлях із заданою швидкістю, подібною до лінійного руху. Цей показник єтангенціальна швидкість​ ​v_т​​,і дорівнює rω,дер- радіус, або відстань від осі обертання.

Відповідно,кутове прискорення​ ​α(Грецька альфа) - швидкість зміни кутової швидкостіωі вимірюється в рад / с². Існує такождоцентрове прискорення​ ​а_cдаєтьсяv_т²/r,яка спрямована всередину до осі обертання.

• Під час обговорення кутового моменту аналог mvв лінійному вираженні, незабаром буде проведено ґрунтовне обговорення, знати, що один із його компонентівЯ, можна розглядати як обертальний аналог маси.

Імпульс кута, як сила, переміщення, швидкість і прискорення, євекторна кількість, оскільки такі змінні включають як aвеличини(тобто число) та aнапрямку, часто даються терміни окремих x-, y- та z-компонентів. Кількості, що містять лише числовий елемент, такі як маса, час, енергія та робота, відомі якскалярні величини​.