Daha yüksek seviyelerdeki her cebir öğrencisinin ikinci dereceden denklemleri çözmeyi öğrenmesi gerekir. Bunlar, 2'nin gücünü içeren ancak daha yüksek olmayan bir tür polinom denklemidir ve genel forma sahiptirler:balta2 + sevgili + c= 0. Bunları ikinci dereceden denklem formülünü kullanarak, çarpanlara ayırarak veya kareyi tamamlayarak çözebilirsiniz.
TL; DR (Çok Uzun; Okumadım)
İlk önce denklemi çözmek için çarpanlara ayırmaya bakın. Eğer biri yoksabkatsayısı 2'ye tam bölünürse kareyi tamamlar. Her iki yaklaşım da kolay değilse, ikinci dereceden denklem formülünü kullanın.
Denklemi Çözmek İçin Çarpanlara Ayırma Kullanma
Çarpanlara ayırma, standart ikinci dereceden denklemin sağ tarafının sıfıra eşit olduğu gerçeğinden yararlanır. Bunun anlamı, eğer denklemi parantez içinde birbiriyle çarpılan iki terime bölebilirseniz, her bir parantezin sıfıra neyin eşit olacağını düşünerek çözümler üretebilirsiniz. somut bir örnek vermek gerekirse:
x^2 + 6x + 9 = 0
Bunu standart formla karşılaştırın:
ax^2 + bx + c = 0
Örnekte,bir = 1, b= 6 vec= 9. Çarpanlara ayırmanın zorluğu, sayıyı vermek için bir araya gelen iki sayıyı bulmaktır.byerine sayıyı almak için nokta ve birlikte çarpınc.
Yani, sayıları temsil edendvee, aşağıdakileri karşılayan sayılar arıyorsunuz:
d + e = b
Veya bu durumda, ileb = 6:
d + e = 6
Ve
d × e = c
Veya bu durumda, ilec = 9:
d × e = 9
faktörleri olan sayıları bulmaya odaklanın.cve sonra eşit olup olmadıklarını görmek için bunları bir araya ekleyinb. Numaralarınızı aldığınızda, bunları aşağıdaki biçimde koyun:
(x + d) (x + e)
Yukarıdaki örnekte hemdvee3:
x^2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Parantezleri çarparsanız, orijinal ifadeyi tekrar elde edersiniz ve bu, çarpanlara ayırmanızı kontrol etmek için iyi bir uygulamadır. Tersten görmek için bu süreci (parantezlerin ilk, iç, dış ve son kısımlarını sırasıyla çarparak - daha fazla ayrıntı için Kaynaklara bakın) uygulayabilirsiniz:
\begin{hizalanmış} (x + 3) (x + 3) &= (x × x) + (3 × x ) + (x × 3) + (3 × 3) \\ &= x^2 + 3x + 3x + 9 \\ &= x^2 + 6x + 9 \\ \end{hizalı}
Çarpanlara ayırma, bu süreci etkili bir şekilde tersine çevirir, ancak bunu çözmek zor olabilir. ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırmanın doğru yolu ve bu yöntem bunun için her ikinci dereceden denklem için ideal değil sebep. Genellikle bir çarpanlara ayırmada tahmin etmeniz ve ardından kontrol etmeniz gerekir.
Şimdi sorun, parantez içindeki ifadelerden herhangi birinin, değer seçiminiz yoluyla sıfıra eşit olmasını sağlamaktır.x. Parantezlerden herhangi biri sıfıra eşitse, tüm denklem sıfıra eşittir ve bir çözüm buldunuz. Son aşamaya bakın [(x + 3) (x+ 3) = 0] ve parantezlerin sıfıra geldiği tek zamanın eğerx= −3. Yine de çoğu durumda, ikinci dereceden denklemlerin iki çözümü vardır.
Çarpanlara ayırma daha da zordurbirbire eşit değildir, ancak ilk başta basit durumlara odaklanmak daha iyidir.
Denklemi Çözmek İçin Kareyi Tamamlama
Kareyi tamamlamak, kolayca çarpanlara ayrılamayan ikinci dereceden denklemleri çözmenize yardımcı olur. Bu yöntem herhangi bir ikinci dereceden denklem için çalışabilir, ancak bazı denklemler buna diğerlerinden daha çok uygundur. Yaklaşım, ifadeyi tam kareye dönüştürmeyi ve bunu çözmeyi içerir. Genel bir tam kare şu şekilde genişler:
(x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2
İkinci dereceden bir denklemi kareyi tamamlayarak çözmek için, yukarıdaki ifadenin sağ tarafındaki ifadeyi forma getirin. İlk önce sayıyı bölb2 ile konumlandırın ve ardından sonucun karesini alın. Yani denklem için:
x^2 + 8x = 0
katsayıb= 8, yanib÷ 2 = 4 ve (b ÷ 2)2 = 16.
Bunu elde etmek için her iki tarafa da ekleyin:
x^2 + 8x + 16 = 16
Bu formun tam kare forma uyduğunu unutmayın.d= 4, yani 2d= 8 ved2 = 16. Bunun anlamı şudur ki:
x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2
Bunu elde etmek için önceki denkleme ekleyin:
(x + 4)^2 = 16
Şimdi denklemi çözx. Aşağıdakileri elde etmek için her iki tarafın karekökünü alın:
x + 4 = \sqrt{16}
Şunu elde etmek için her iki taraftan 4 çıkarın:
x = \sqrt{16} - 4
Kök pozitif veya negatif olabilir ve negatif kökü almak şunları verir:
x = -4 - 4 = -8
Pozitif kökü olan diğer çözümü bulun:
x = 4 - 4 = 0
Bu nedenle sıfır olmayan tek çözüm -8'dir. Onaylamak için bunu orijinal ifadeyle kontrol edin.
Denklemi Çözmek için İkinci Dereceden Formülü Kullanma
İkinci dereceden denklem formülü diğer yöntemlerden daha karmaşık görünüyor, ancak en güvenilir yöntemdir ve herhangi bir ikinci dereceden denklemde kullanabilirsiniz. Denklem, standart ikinci dereceden denklemdeki sembolleri kullanır:
ax^2 + bx + c = 0
Ve şunu belirtir:
x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Uygun sayıları yerlerine yerleştirin ve karekök terimini hem çıkarmayı hem de toplamayı denemeyi ve her iki yanıtı da not etmeyi unutmadan, çözmek için formül üzerinde çalışın. Aşağıdaki örnek için:
x^2 + 6x + 5 = 0
Varbir = 1, b= 6 vec= 5. Yani formül şunları verir:
\begin{hizalanmış} x &= \frac{-6 ± \sqrt{6^2 - 4×1×5}}{2×1} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{36 - 20} }{2} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{-6 ± 4}{2} \end{hizalı}
Olumlu işareti almak şunları verir:
\begin{aligned} x &= \frac{-6 + 4}{2} \\ &= \frac{-2}{2} \\ &= -1 \end{aligned}
Ve eksi işareti almak şunları verir:
\begin{aligned} x &= \frac{-6 - 4}{2} \\ &= \frac{-10}{2} \\ &= -5 \end{aligned}
Denklemin iki çözümü hangileridir.
İkinci Dereceden Denklemleri Çözmek İçin En İyi Yöntem Nasıl Belirlenir
Başka bir şey denemeden önce çarpanlara ayırmaya bakın. Birini bulabilirseniz, ikinci dereceden bir denklemi çözmenin en hızlı ve en kolay yolu budur. toplamı olan iki sayı aradığınızı unutmayın.bkatsayısını ve çarpını vermek içinckatsayı. Bu denklem için:
x^2 + 5x + 6 = 0
2 + 3 = 5 ve 2 × 3 = 6 olduğunu tespit edebilirsiniz, yani:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Vex= -2 veyax = −3.
Bir çarpanlara ayırma göremiyorsanız,bkatsayısı, kesirlere başvurmadan 2 ile bölünebilir. Eğer öyleyse, kareyi tamamlamak muhtemelen denklemi çözmenin en kolay yoludur.
Her iki yaklaşım da uygun görünmüyorsa, formülü kullanın. Bu en zor yaklaşım gibi görünüyor, ancak bir sınavdaysanız veya başka bir şekilde zamanınız varsa, süreci çok daha az stresli ve çok daha hızlı hale getirebilir.
