Bir fonksiyon, sabitler ile bir veya daha fazla değişken arasındaki ilişkileri ifade eder. Örneğin, f (x) = 5x + 10 işlevi, x değişkeni ile 5 ve 10 sabitleri arasındaki ilişkiyi ifade eder. Türevler olarak bilinen ve dy/dx, df (x)/dx veya f'(x) olarak ifade edilen türev, bir değişkenin diğerine göre değişim oranını bulur -- örnekte, f (x)'in x'e göre. Farklılaştırma, optimum çözümü bulmak için yararlıdır, yani maksimum veya minimum koşulları bulmaktır. Fonksiyonların ayırt edilmesiyle ilgili bazı temel kurallar vardır.
Sabit bir fonksiyonun türevini alın. Bir sabitin türevi sıfırdır. Örneğin, f (x) = 5 ise, o zaman f'(x) = 0.
Bir işlevi ayırt etmek için güç kuralını uygulayın. Kuvvet kuralı, f (x) = x^n veya x'in n kuvvetine yükseltilmesi durumunda, o zaman f'(x) = nx^(n - 1) veya x'in (n - 1) kuvvetine yükseltilip çarpılacağını belirtir. Örneğin, f (x) = 5x ise, f'(x) = 5x^(1 - 1) = 5. Benzer şekilde, eğer f (x) = x^10 ise, o zaman f'(x) = 9x^9; ve eğer f (x) = 2x^5 + x^3 + 10 ise, o zaman f'(x) = 10x^4 + 3x^2.
Çarpım kuralını kullanarak bir fonksiyonun türevini bulun. Bir ürünün diferansiyeli, onun bireysel bileşenlerinin diferansiyellerinin ürünü değildir: Eğer f (x) = uv, burada u ve v iki ayrı fonksiyondur, o zaman f'(x), f'(u) ile f'(v) çarpımına eşit değildir. Bunun yerine, iki fonksiyonun çarpımının türevi, birinci çarpı ikincinin türevi artı ikinci çarpı birincinin türevidir. Örneğin, f (x) = (x^2 + 5x) (x^3) ise, iki fonksiyonun türevleri sırasıyla 2x + 5 ve 3x^2'dir. Ardından, çarpım kuralını kullanarak, f'(x) = (x^2 + 5x) (3x^2) + (x^3) (2x + 5) = 3x^4 + 15x^3 + 2x^4 + 5x ^3 = 5x^4 + 20x^3.
Bölüm kuralını kullanarak bir fonksiyonun türevini alın. Bir bölüm, bir fonksiyonun diğerine bölünmesidir. Bir bölümün türevi, payda çarpı payın türevinin eksi pay çarpı paydanın türevinin çarpımına eşittir, ardından paydanın karesine bölünür. Örneğin, f (x) = (x^2 + 4x) / (x^3) ise, pay ve payda fonksiyonlarının türevleri sırasıyla 2x + 4 ve 3x^2'dir. Ardından, bölüm kuralını kullanarak, f'(x) = [(x^3) (2x + 4) - (x^2 + 4x) (3x^2)] / (x^3)^2 = (2x^ 4 + 4x^3 - 3x^4 - 12x^3) / x^6 = (-x^4 - 8x^3) / x^6.
Ortak türevler kullanın. Açıların fonksiyonları olan genel trigonometrik fonksiyonların türevlerinin ilk ilkelerden türetilmesine gerek yoktur -- sin x ve cos x'in türevleri sırasıyla cos x ve -sin x'tir. Üstel fonksiyonun türevi, fonksiyonun kendisidir -- f (x) = f'(x) = e^x ve doğal logaritmik fonksiyonun türevi, ln x, 1/x'tir. Örneğin, f (x) = günah x + x^2 - 4x + 5 ise, o zaman f'(x) = cos x + 2x - 4.