Elektromanyetizmanın gizemlerini çözmek fiziğin bugüne kadarki en büyük başarılarından biri olmuştur ve öğrenilen dersler Maxwell denklemlerinde tam olarak özetlenmiştir.
Bu dört zarif denkleme adını James Clerk Maxwell veriyor, ancak bunlar birçok fizikçinin onlarca yıllık çalışmalarının doruk noktasıdır. Dört denklemden üçüne isimlerini veren Michael Faraday, Andre-Marie Ampere ve Carl Friedrich Gauss ve birçok diğerleri. Maxwell'in kendisi dört denklemden sadece birine bir terim eklerken, Konuyla ilgili yapılmış çalışmaların en iyilerini toplayın ve bunları halen kullanılan bir tarzda sunun. fizikçiler bugün
Fizikçiler, uzun yıllar boyunca elektrik ve manyetizmanın ayrı kuvvetler ve farklı fenomenler olduğuna inandılar. Ancak Faraday gibi insanların deneysel çalışmaları sayesinde, bunların aslında dünyanın iki yüzü olduğu giderek daha açık hale geldi. aynı fenomen ve Maxwell'in denklemleri, 19. yüzyılda olduğu kadar bugün de geçerli olan bu birleşik resmi sunuyor. yüzyıl. Daha yüksek seviyelerde fizik çalışacaksanız, Maxwell denklemlerini ve bunların nasıl kullanılacağını kesinlikle bilmeniz gerekir.
Maxwell Denklemleri
Maxwell denklemleri hem diferansiyel formda hem de integral formda aşağıdaki gibidir. (Diferansiyel denklemler bilgisi burada yardımcı olsa da, onsuz bile kavramsal bir anlayışın mümkün olduğunu unutmayın.)
Elektrik için Gauss Yasası
Diferansiyel formu:
\bm{∇∙E} = \frac{ρ}{ε_0}
İntegral formu:
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Manyetizma için Monopol Yasası / Gauss Yasası Yok
Diferansiyel formu:
\bm{∇∙B} = 0
İntegral formu:
\int \bm{B ∙} d\bm{A} = 0
Faraday'ın İndüksiyon Yasası
Diferansiyel formu:
\bm{∇ × E} = − \frac{∂\bm{B}}{∂t}
İntegral formu:
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ ∂t}
Amper-Maxwell Yasası / Ampere Yasası
Diferansiyel formu:
\bm{∇ × B} = \frac{J}{ ε_0 c^2} + \frac{1}{c^2} \frac{∂E}{∂t}
İntegral formu:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E ∙ }d\bm{A }
Maxwell Denklemlerinde Kullanılan Semboller
Maxwell denklemleri oldukça geniş bir sembol seçimi kullanır ve bunları uygulamayı öğrenecekseniz bunların ne anlama geldiğini anlamanız önemlidir. İşte kullanılan sembollerin anlamlarının bir özeti:
B= manyetik alan
E= elektrik alanı
ρ= elektrik yükü yoğunluğu
ε0= boş alanın geçirgenliği = 8.854 × 10-12 m-3 kilogram-1 s4 bir2
q= toplam elektrik yükü (pozitif ve negatif yüklerin net toplamı)
𝜙B = manyetik akı
J= akım yoğunluğu
ben= elektrik akımı
c= ışık hızı = 2.998 × 108 Hanım
μ0 = boş alanın geçirgenliği = 4π × 10−7 Yok2
Ek olarak, ∇'nin del operatörü, iki nicelik arasındaki bir nokta olduğunu bilmek önemlidir (X ∙ Y) bir skaler çarpımı gösterir, iki nicelik arasındaki kalın bir çarpım sembolü bir vektör çarpımıdır (X × Y), noktalı del operatörüne “diverjans” denir (örneğin, ∇ ∙ X= diverjansıX= divX) ve skaler çarpımı olan bir del operatörüne kıvrılma denir (örneğin, ∇× Y= kıvrılmakY= kıvrılmaY). Son olarak,bird'debirhesapladığınız kapalı yüzeyin yüzey alanı anlamına gelir (bazen d olarak yazılır)S), vesd'deshesapladığınız açık yüzey sınırının çok küçük bir kısmıdır (bu bazen dben, sonsuz derecede küçük bir çizgi bileşenine atıfta bulunur).
Denklemlerin Türetilmesi
Maxwell denklemlerinin ilk denklemi Gauss yasasıdır ve bir kapalı yüzey, şeklin içerdiği toplam yükün serbest geçirgenliğe bölünmesine eşittir. Uzay. Bu yasa, Coulomb yasasını bir elektrik alanı ve bunun bir test yükü üzerindeki etkisini ifade etmek gibi önemli bir adım atıldıktan sonra Coulomb yasasından türetilebilir.
Maxwell denklemlerinin ikincisi, esasen “manyetik tek kutuplar yoktur” ifadesine eşdeğerdir. Belirtir kapalı bir yüzeyden geçen net manyetik akı her zaman 0 olacaktır, çünkü manyetik alanlar her zaman bir dipol. Kanun, mevcut bir element tarafından üretilen manyetik alanı tanımlayan Biot-Savart kanunundan türetilebilir.
Üçüncü denklem - Faraday'ın indüksiyon yasası - değişen bir manyetik alanın bir tel veya iletken döngüsünde nasıl voltaj ürettiğini açıklar. Başlangıçta bir deneyden türetilmiştir. Bununla birlikte, değişen bir manyetik akının bir elektromotor kuvveti (EMF veya voltaj) ve dolayısıyla bir tel döngüsü ve EMF'nin devre etrafındaki elektrik alanının çizgi integrali olarak tanımlanması gerçeği, yasayı koymak kolaydır. birlikte.
Dördüncü ve son denklem olan Ampere yasası (ya da Ampere-Maxwell yasası) katkı), hareketli bir yük veya değişen bir elektrik tarafından bir manyetik alanın nasıl oluşturulduğunu açıklar. alan. Yasa, deneyin sonucudur (ve böylece – tüm Maxwell denklemleri gibi – geleneksel anlamda gerçekten “türetilmemiş”tir), ancakStokes teoremitemel sonucu bugün kullanılan forma sokmak için önemli bir adımdır.
Maxwell Denklemlerine Örnekler: Gauss Yasası
Dürüst olmak gerekirse, özellikle vektör hesabında tam olarak iyi değilseniz, Maxwell denklemleri, nispeten kompakt olmalarına rağmen oldukça göz korkutucu görünüyor. Onları gerçekten anlamanın en iyi yolu, onları pratikte kullanmanın bazı örneklerini gözden geçirmektir ve Gauss yasası başlamak için en iyi yerdir. Gauss yasası esasen Coulomb yasasının işini yapan daha temel bir denklemdir ve bir nokta tarafından üretilen elektrik alanını göz önünde bulundurarak Coulomb yasasını çıkarmak oldukça kolaydır. şarj etmek.
Ücreti aramakqGauss yasasını uygulamanın kilit noktası, içinden geçen elektrik akısını incelemek için doğru "yüzeyi" seçmektir. Bu durumda, yüzey alanı olan bir küre iyi çalışır.bir = 4πr2, çünkü küreyi nokta yükü üzerinde ortalayabilirsiniz. Bu, bunun gibi sorunları çözmek için çok büyük bir fayda çünkü o zaman yüzey boyunca değişen bir alanı bütünleştirmeniz gerekmez; alan nokta yükün etrafında simetrik olacak ve bu nedenle kürenin yüzeyi boyunca sabit olacaktır. Yani integral formu:
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Şu şekilde ifade edilebilir:
E × 4πr^2 = \frac{q}{ε_0}
unutmayın kiEçünkü elektrik alanı basit bir büyüklükle değiştirilmiştir, çünkü bir nokta yükünden gelen alan kaynaktan tüm yönlere eşit olarak yayılacaktır. Şimdi, kürenin yüzey alanına bölünmesi şunu verir:
E = \frac{q}{4πε_0r^2}
Kuvvet elektrik alanla ilgili olduğundanE = F/q, neredeqbir test ücretidir,F = qE, ve bu yüzden:
F = \frac{q_1q_2}{4πε_0r^2}
İki ücreti ayırt etmek için aboneliklerin eklendiği yer. Bu, Gauss yasasının basit bir sonucu olduğu gösterilen, standart biçimde ifade edilen Coulomb yasasıdır.
Maxwell Denklemlerine Örnekler: Faraday Yasası
Faraday yasası, değişen bir manyetik alandan kaynaklanan bir tel döngüsündeki elektromotor kuvveti hesaplamanıza izin verir. Basit bir örnek, yarıçaplı bir tel halkasıdır.r= 20 cm, büyüklüğü artan bir manyetik alandaBben = 1 T içinBf = ∆ uzayında 10 Tt= 5 s – bu durumda indüklenen EMF nedir? Yasanın ayrılmaz biçimi akı içerir:
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ ∂t}
şu şekilde tanımlanır:
ϕ = BA \cos (θ)
Buradaki problemin kilit kısmı, akı değişim oranını bulmaktır, ancak problem oldukça basit olduğu için, kısmi türevi her nicelikte basit bir "değişim" ile değiştirebilirsiniz. Ve integral gerçekten sadece elektromotor kuvvet anlamına gelir, bu nedenle Faraday'ın indüksiyon yasasını şu şekilde yeniden yazabilirsiniz:
\text{EMF} = − \frac{∆BA \cos (θ)}{∆t}
Tel döngüsünün normalinin manyetik alanla hizalı olduğunu varsayarsak,θ= 0° ve dolayısıyla cos (θ) = 1. Bu yapraklar:
\text{EMF} = − \frac{∆BA}{∆t}
Daha sonra problem, ilk ve son manyetik alan ile döngünün alanı arasındaki fark aşağıdaki gibi bulunarak çözülebilir:
\begin{aligned} \text{EMF} &= − \frac{∆BA}{∆t} \\ &= − \frac{(B_f - B_i) × πr^2}{∆t} \\ &= − \frac{(10 \text{ T}- 1 \text{ T}) × π × (0,2 \text{ m})^2}{5 \text{ s}} \\ &= − 0,23 \text{ V } \end{hizalanmış}
Bu sadece küçük bir voltajdır, ancak Faraday yasası ne olursa olsun aynı şekilde uygulanır.
Maxwell Denklemlerine Örnekler: Amper-Maxwell Yasası
Ampere-Maxwell yasası, düzenli olarak uygulamanız gereken Maxwell denklemlerinin sonuncusudur. Denklem, değişen bir elektrik alanının yokluğunda Ampere yasasına döner, bu nedenle bu, dikkate alınması en kolay örnektir. Akım taşıyan düz bir telden kaynaklanan manyetik alan denklemini türetmek için kullanabilirsiniz.ben, ve bu temel örnek denklemin nasıl kullanıldığını göstermek için yeterlidir. Tam yasa şudur:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E ∙ }d\bm{A }
Ancak değişen bir elektrik alanı olmadığında şuna düşer:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I
Şimdi, Gauss yasasında olduğu gibi, yüzey için tel ilmek merkezli bir daire seçerseniz, sezgi, ortaya çıkan manyetik alanın simetrik olacaktır ve böylece integrali, döngünün çevresinin ve manyetik alan gücünün basit bir çarpımı ile değiştirebilirsiniz, ayrılmak:
B × 2πr = μ_0 I
2π ile bölmerverir:
B = \frac{μ_0 I}{2πr}
Bir mesafedeki manyetik alan için kabul edilen ifade hangisidir?rakım taşıyan düz bir telden kaynaklanır.
Elektromanyetik dalgalar
Maxwell denklem setini bir araya getirdiğinde, çeşitli denklemleri açıklamaya yardımcı olacak çözümler bulmaya başladı. gerçek dünyadaki fenomenler ve ışığa verdiği içgörü, onun en önemli sonuçlarından biridir. Elde edilen.
Değişen bir elektrik alanı bir manyetik alan oluşturduğundan (Amper yasasına göre) ve değişen bir manyetik alan bir elektrik alanı (Faraday yasasına göre), Maxwell kendi kendine yayılan bir elektromanyetik dalganın olabileceğini keşfetti. mümkün. Denklemlerini böyle bir dalgayı tanımlayacak dalga denklemini bulmak için kullandı ve onun ışık hızında hareket edeceğini belirledi. Bu bir tür “eureka” anıydı; ışığın, tıpkı hayal ettiği alan gibi çalışan bir elektromanyetik radyasyon şekli olduğunu fark etti!
Elektromanyetik dalga, birbirine dik açılarda hizalanmış, ileri geri salınan bir elektrik alan dalgası ve bir manyetik alan dalgasından oluşur. Dalganın elektrik kısmının salınımı manyetik alanı oluşturur ve bu kısmın salınımı da uzayda ilerlerken tekrar tekrar bir elektrik alanı üretir.
Diğer herhangi bir dalga gibi, bir elektromanyetik dalganın da bir frekansı ve bir dalga boyu vardır ve bunların çarpımı her zaman eşittir.c, Işık hızı. Elektromanyetik dalgalar her yerdedir ve görünür ışığın yanı sıra diğer dalga boylarına da yaygın olarak radyo dalgaları, mikrodalgalar, kızılötesi, ultraviyole, X-ışınları ve gama ışınları denir. Elektromanyetik radyasyonun tüm bu formları, Maxwell denklemlerinde açıklananla aynı temel forma sahiptir, ancak enerjileri frekansa göre değişir (yani, daha yüksek bir frekans, daha yüksek bir enerji anlamına gelir).
Yani bir fizikçi için, "Işık olsun!" diyen Maxwell'di.
