Kombinasyonlar ve Permütasyonlar Nasıl Hesaplanır

Diyelim ki n türde öğeniz var ve bunlardan r tanesinden oluşan bir koleksiyon seçmek istiyorsunuz. Bu öğeleri belirli bir sırayla isteyebiliriz. Bu öğe kümelerine permütasyon diyoruz. Sıra önemli değilse, koleksiyon kombinasyonları kümesi diyoruz. Hem kombinasyonlar hem de permütasyonlar için, n türlerinden bazılarını birden fazla seçtiğiniz durumu düşünebilirsiniz. 'tekrarlı' olarak adlandırılan bir kez veya 'hayır' olarak adlandırılan her türü yalnızca bir kez seçtiğiniz durum tekrarlama'. Amaç, belirli bir durumda mümkün olan kombinasyon veya permütasyon sayısını sayabilmektir.

Faktöriyel fonksiyon genellikle kombinasyonları ve permütasyonları hesaplarken kullanılır. N! N×(N–1)×...×2×1 anlamına gelir. Örneğin, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Bir öğe kümesini sipariş etme yollarının sayısı faktöriyeldir. Üç harf a, b ve c alın. İlk harf için üç, ikincisi için iki ve üçüncü için sadece bir seçeneğiniz var. Yani toplam 3×2×1 = 6 sıralama. Genel olarak, n vardır! n ürün sipariş etmenin yolları.

Diyelim ki boyayacağınız üç odanız var ve her biri beş renkten biri ile boyanacak: kırmızı (r), yeşil (g), mavi (b), sarı (y) veya turuncu (o). Her rengi istediğiniz kadar seçebilirsiniz. Birinci oda için beş, ikinci oda için beş ve üçüncü oda için beş renk arasından seçim yapabilirsiniz. Bu toplam 5×5×5 = 125 olasılık verir. Genel olarak, tekrarlanabilir n seçenek arasından belirli bir sırada bir grup r öğeyi seçme yollarının sayısı n^r'dir.

Şimdi her odanın farklı bir renk olacağını varsayalım. Birinci oda için beş renk, ikinci oda için dört renk ve üçüncü oda için sadece üç renk arasından seçim yapabilirsiniz. Bu 5×4×3 = 60 verir, bu da sadece 5!/2! Genel olarak, tekrarlanamayan n seçenek arasından belirli bir sırada r öğe seçmenin bağımsız yollarının sayısı n!/(n–r)!'dir.

Ardından, hangi odanın hangi renk olduğunu unutun. Renk şeması için sadece üç bağımsız renk seçin. Burada sıra önemli değil, yani (kırmızı, yeşil, mavi) ile (kırmızı, mavi, yeşil) aynıdır. Herhangi bir üç renk seçimi için 3 tane var! onları sipariş etmenin yolları. Böylece permütasyon sayısını 3 azaltmış olursunuz! 5!/(2!×3!) = 10 elde etmek için. Genel olarak, n!/[(n–r)!×r!] şekillerde tekrarlanamayan n seçenek arasından herhangi bir sırada bir grup r öğe seçebilirsiniz.

Son olarak, herhangi bir rengi istediğiniz kadar kullanabileceğiniz bir renk şeması oluşturmanız gerekir. Akıllı bir muhasebe kodu, bu sayma görevine yardımcı olur. Odaları temsil etmek için üç X kullanın. Renk listeniz 'rgbyo' ile temsil edilir. X'leri renk listenize karıştırın ve her X'i solundaki ilk renkle ilişkilendirin. Örneğin, rgXXbyXo, birinci odanın yeşil, ikincisinin yeşil ve üçüncünün sarı olduğu anlamına gelir. Bir X'in solunda en az bir renk olmalıdır, bu nedenle ilk X için beş kullanılabilir yuva vardır. Liste artık bir X içerdiğinden, ikinci X için altı kullanılabilir yuva ve üçüncü X için yedi kullanılabilir yuva vardır. Toplamda 5×6×7 = 7!/4! kodu yazmanın yolları. Ancak, odaların sırası isteğe bağlıdır, bu nedenle gerçekten sadece 7!/(4!×3!) benzersiz düzenleme vardır. Genel olarak, (n+r–1)!/[(n–1)!×r!] şekillerde tekrarlanabilir n seçenek arasından herhangi bir sırada r öğe seçebilirsiniz.