Sinüs ve kosinüs kavramlarına hakim olmak, trigonometrinin ayrılmaz bir parçasıdır. Ancak bu fikirleri bir kez belinizin altına aldığınızda, trigonometri ve daha sonra kalkülüsteki diğer faydalı araçlar için yapı taşları haline gelirler. Örneğin, "kosinüs yasası", biliyorsanız bir üçgenin eksik tarafını bulmak için kullanabileceğiniz özel bir formüldür. diğer iki kenarın uzunluğu artı aralarındaki açı veya üçünü de bildiğinizde bir üçgenin açılarını bulmak için taraf.
Kosinüs Yasası
Kosinüs yasası, uğraştığınız üçgenin hangi açıları veya kenarlarına bağlı olarak çeşitli versiyonlarda gelir:
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc × \cos (A) \\ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac × \cos (B) \\ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab × \cos (C)
Herbir durumda,bir, bvecbir üçgenin kenarlarıdır vebir, BveyaCaynı harfin kenarının karşısındaki açıdır. Yanibirkarşı taraf açıdırbir, Bkarşı taraf açıdırb, veCkarşı taraf açıdırc. Bu, üçgenin kenarlarından birinin uzunluğunu buluyorsanız kullanacağınız denklemin şeklidir.
Kosinüs yasası, üçgenin üç kenarının da uzunluklarını bildiğinizi varsayarak, üçgenin üç açısından herhangi birini bulmayı kolaylaştıran versiyonlarda yeniden yazılabilir:
cos (A) = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \\ \,\\ cos (B) = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{ 2ac} \\ \,\\ cos (C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
Bir Taraf için Çözmek
Bir üçgenin kenarını bulmak için kosinüs yasasını kullanmak için üç parça bilgiye ihtiyacınız vardır: üçgenin diğer iki kenarının uzunlukları artı aralarındaki açı. Bulmak istediğiniz tarafın denklemin solunda ve zaten sahip olduğunuz bilgilerin sağda olduğu formülün versiyonunu seçin. Yani kenar uzunluğunu bulmak istiyorsanızbir, sürümü kullanırsın
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc × \cos (A)
Bilinen iki kenarın değerlerini ve aralarındaki açıyı formülde yerine koyun. Üçgeninizin bilinen tarafları varsabvecsırasıyla 5 birim ve 6 birim ölçen ve aralarındaki açı 60 derece olan (bu, radyan cinsinden π/3 olarak da ifade edilebilir), şunları elde edersiniz:
a^2 = 5^2 + 6^2 - (2 × 5 × 6) × \cos (60)
Kosinüs değerini aramak için bir tablo veya hesap makinenizi kullanın; bu durumda, cos (60) = 0,5, size denklemi verir:
a^2 = 5^2 + 6^2 – (2 × 5 × 6) × 0,5
Adım 2'nin sonucunu basitleştirin. Bu size şunları sağlar:
a^2 = 25 + 36 - 30
Hangi sırayla basitleştirir:
a^2 = 31
Çözümü tamamlamak için her iki tarafın karekökünü alınbir. Bu size şunları bırakır:
a = \sqrt{31}
√31'in değerini (5.568'dir) tahmin etmek için bir grafik veya hesap makinenizi kullanabilseniz de, cevabı daha kesin radikal biçiminde bırakmanıza genellikle izin verilir ve hatta teşvik edilirsiniz.
Bir Açı için Çözme
Üç kenarını da biliyorsanız, üçgenin açılarından herhangi birini bulmak için aynı işlemi uygulayabilirsiniz. Bu sefer, formülün eksik veya "bilmiyorum" açısını eşittir işaretinin sol tarafına koyan versiyonunu seçeceksiniz. C açısının ölçüsünü bulmak istediğinizi düşünün (bunun, karşı tarafın açısı olarak tanımlandığını unutmayın).c). Formülün bu sürümünü kullanırsınız:
\cos (C) = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}
Bilinen değerleri - bu tür bir problemde, yani üçgenin üç kenarının da uzunlukları anlamına gelir - denklemde yerine koyun. Örnek olarak, üçgeninizin kenarları olsunbir= 3 birim,b= 4 birim vec= 25 birim. Böylece denkleminiz şöyle olur:
\cos (C) = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 × 3 × 4}
Ortaya çıkan denklemi basitleştirdiğinizde, şunları elde edersiniz:
\cos (C) = \frac{0}{24}
veya basitçe çünkü(C) = 0.
Genellikle cos olarak gösterilen 0'ın ters kosinüsünü veya ark kosinüsünü hesaplayın-1(0). Veya başka bir deyişle, hangi açının kosinüsü 0'dır? Aslında bu değeri veren iki açı vardır: 90 derece ve 270 derece. Ama tanım gereği, bir üçgendeki her açının 180 dereceden az olması gerektiğini bilirsiniz, bu yüzden bir seçenek olarak sadece 90 derece kalır.
Yani eksik açınızın ölçüsü 90 derecedir, yani bu yöntem dik olmayan üçgenlerde de işe yarasa da, bir dik üçgenle uğraşıyorsunuz demektir.