Cebirde olduğu gibi, trigonometri öğrenmeye başladığınızda, problem çözme için faydalı olan formül setleri biriktireceksiniz. Böyle bir küme, iki amaç için kullanabileceğiniz yarım açı kimlikleridir. Biri, trigonometrik fonksiyonları dönüştürmektir (θ(2) daha tanıdık (ve daha kolay manipüle edilebilir) terimlerle işlevlereθ. Diğeri ise trigonometrik fonksiyonların gerçek değerini bulmaktır.θ, ne zamanθdaha tanıdık bir açının yarısı olarak ifade edilebilir.
Yarım Açı Kimliklerini İnceleme
Birçok matematik ders kitabı, dört temel yarım açı kimliğini listeler. Ancak bir cebir ve trigonometri karışımı uygulayarak, bu denklemler bir dizi faydalı biçime dönüştürülebilir. Bunların hepsini ezberlemek zorunda değilsiniz (öğretmeniniz ısrar etmedikçe), ancak en azından bunları nasıl kullanacağınızı anlamalısınız:
Sinüs için Yarım Açı Kimliği
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
Kosinüs için Yarım Açı Kimliği
\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}
Teğet için Yarım Açı Kimlikleri
\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 + \cosθ} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 - \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \tan\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ - \ karyola
Kotanjant için Yarım Açı Kimlikleri
\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 - \cosθ}} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 - \cosθ} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 + \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \cot\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ + \ karyola
Yarım Açı Kimliklerini Kullanmaya Bir Örnek
Peki yarım açılı kimlikleri nasıl kullanıyorsunuz? İlk adım, daha tanıdık bir açının yarısı olan bir açıyla uğraştığınızı fark etmektir.
- Çeyrek I: tüm tetik işlevleri
- Kadran II: sadece sinüs ve kosekant
- Çeyrek III: sadece tanjant ve kotanjant
- Çeyrek IV: sadece kosinüs ve sekant
15 derecelik açının sinüsünü bulmanızın istendiğini hayal edin. Bu, çoğu öğrencinin trig fonksiyonlarının değerlerini ezberleyeceği açılardan biri değildir. Ama 15 derecenin θ/2'ye eşit olmasına izin verir ve sonra θ'yi bulursanız şunu bulursunuz:
\frac{θ}{2} = 15 \\ θ = 30
Ortaya çıkan θ, 30 derece daha tanıdık bir açı olduğundan, burada yarım açı formülünü kullanmak yardımcı olacaktır.
Sizden sinüsü bulmanız istendiği için, aralarından seçim yapabileceğiniz gerçekten sadece bir yarım açı formülü var:
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
değiştirmeθ/2 = 15 derece veθ= 30 derece size şunları verir:
\sin (15) = ±\sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Her ikisi de yarı açılı özdeşliklerini ifade etmenin yollarını yarıya indiren teğet veya kotanjantı bulmanız istenseydi, çalışması en kolay görünen versiyonu seçerdiniz.
Bazı yarım açılı özdeşliklerin başındaki ± işareti, söz konusu kökün pozitif veya negatif olabileceği anlamına gelir. Bu belirsizliği kadranlardaki trigonometrik fonksiyonlar bilginizi kullanarak çözebilirsiniz. İşte hangi trig fonksiyonlarının geri döndüğüne dair kısa bir özetpozitifkadranların bulunduğu değerler:
Bu durumda θ açınız 30 dereceyi temsil ettiğinden, bu da I. Çeyrek'e denk gelir, bilirsiniz ki döndürdüğü sinüs değeri pozitif olacaktır. Böylece ± işaretini bırakıp basitçe şunları değerlendirebilirsiniz:
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Cos'un bilinen, bilinen değerinde yerine koyun (30). Bu durumda, tam değerleri kullanın (bir grafikteki ondalık yaklaşımların aksine):
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{3/2}}{2}}
Ardından, günah (15) için bir değer bulmak için denkleminizin sağ tarafını basitleştirin. Kökün altındaki ifadeyi 2/2 ile çarparak başlayın, bu size şunu verir:
\sin (15) = \sqrt{\frac{2(1 - \sqrt{3/2})}{4}}
Bu, şunları basitleştirir:
\sin (15) = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}
Daha sonra 4'ün karekökünü çarpanlarına ayırabilirsiniz:
\sin (15) = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}
Çoğu durumda, bu basitleştireceğiniz kadarıyla. Sonuç çok güzel olmasa da, bilinmeyen bir açının sinüsünü tam bir miktara çevirdiniz.