Üç boyutlu bir katının hacmi, kapladığı üç boyutlu uzayın miktarıdır. Bazı basit şekillerin hacmi, kenarlarından birinin yüzey alanı bilindiğinde doğrudan hesaplanabilir. Birçok şeklin hacmi, yüzey alanlarından da hesaplanabilir. Yüzey alanını tanımlayan fonksiyon integrallenebilir ise, bazı daha karmaşık şekillerin hacmi integral hesabı ile hesaplanabilir.
\"S\", \"taban\" olarak adlandırılan iki paralel yüzeyi olan bir katı olsun. Katının tabanlara paralel olan tüm enine kesitleri tabanlarla aynı alana sahip olmalıdır. Bu kesitlerin alanı \"b\" ve tabanların bulunduğu iki düzlemi ayıran uzaklık \"h\" olsun.
\"S\"nin hacmini V = bh olarak hesaplayın. Prizmalar ve silindirler bu tür katıların basit örnekleridir, ancak daha karmaşık şekiller de içerir. Adım 1'deki koşullar geçerli olduğu ve tabanın yüzey alanı bilindiği sürece, tabanın şekli ne kadar karmaşık olursa olsun, bu katıların hacminin kolayca hesaplanabileceğini unutmayın.
\"P\", bir taban ile apeks adı verilen bir noktanın birleştirilmesiyle oluşturulmuş bir katı olsun. Tepe ile taban arasındaki uzaklık \"h,\" ve taban ile tabana paralel bir kesit arasındaki uzaklık olsun. \"z.\" Ayrıca, taban alanı \"b\" ve kesit alanı \"c\" olsun. Bu tür tüm enine kesitler için, (h - z)/h = c/b.
Adım 3'teki \"P\"nin hacmini V = bh/3 olarak hesaplayın. Piramitler ve koniler bu tür katıların basit örnekleridir, ancak daha karmaşık şekiller de içerir. Taban, yüzey alanı bilindiği ve Adım 3'teki koşullar geçerli olduğu sürece herhangi bir şekilde olabilir.
Yüzey alanından bir kürenin hacmini hesaplayın. Bir kürenin yüzey alanı A = 4?r^2'dir. Bu fonksiyonu \"r,\" ile entegre ederek kürenin hacmini V = 4/3 ?r^3 olarak elde ederiz.