Hata. Kelimenin kendisi, en azından bir beyzbol oyuncusu, sınava giren veya bilgi yarışması katılımcısıysanız, pişmanlık ve pişmanlık ile rezonansa girer. İstatistikçiler için hatalar, iş tanımının bir parçası olarak takip edilmesi gereken bir şeydir - tabii ki istatistikçinin kendi hataları söz konusu değilse.
Dönemhata payıBilimsel konular veya kamuoyu yoklamaları hakkında birçok medya makalesi de dahil olmak üzere günlük dilde yaygındır. Bir değerin (belirli bir siyasi adayı tercih eden yetişkinlerin yüzdesi gibi) güvenilirliğini bildirmenin bir yoludur. Alınan örneğin büyüklüğü ve ilgilenilen değişkenin popülasyon ortalamasının varsayılan değeri dahil olmak üzere bir dizi faktöre dayanır.
Hata payını anlamak için öncelikle temel istatistik, özellikle normal dağılım kavramı hakkında çalışma bilgisine sahip olmanız gerekir. Okurken, bir örneğin ortalaması ile bu örnek araçların çok sayıdaki ortalaması arasındaki farka özellikle dikkat edin.
Nüfus İstatistikleri: Temel Bilgiler
İsveç'te rastgele seçilen 500 yaşındaki 15 yaşındaki erkek çocuğun ağırlıkları gibi bir veri örneğiniz varsa, bireysel ağırlıkların toplamını veri noktalarının sayısına bölerek ortalamayı veya ortalamayı hesaplayın (500). Bu örneğin standart sapması, değerlerin (ağırlıklar gibi) ne kadar geniş bir şekilde kümelenme eğiliminde olduğunu gösteren, bu ortalama hakkındaki verilerin yayılmasının bir ölçüsüdür.
- Hangisinin daha büyük bir standart sapması vardır: Daha önce bahsedilen İsveçli erkeklerin pound cinsinden ortalama ağırlığı mı yoksa 15 yaşında tamamladıkları toplam okul yılı mı?
Merkezi Limit Teoremiistatistik, belirli bir değişken için bir ortalama etrafında normal olarak dağılan bir değere sahip bir popülasyondan alınan herhangi bir örneklemde, ortalamaaraçların örneklerino popülasyondan alınan örnek sayısı ortalamaları sonsuza doğru büyüdükçe popülasyon ortalamasına yaklaşacaktır.
Örnek istatistiklerde, ortalama ve standart sapma, gerçek istatistikler olan x̄ ve s ile temsil edilir.μve aslında olan σparametrelerve yüzde yüz kesinlikle bilinemez. Aşağıdaki örnek, hata paylarını hesaplarken ortaya çıkan farkı göstermektedir.
Yetişkin bir kadının ortalama boyunun 64,25 inç olduğu büyük bir ülkede rastgele seçilmiş 100 kadının boyunu tekrar tekrar örneklediyseniz, 2 inçlik standart sapma, 1,7, 2,3, 2,2 inçlik standart sapmalar ile 63.7, 64.9, 64.5 ve benzeri ardışık x̄ değerleri toplayabilirsiniz ve sevmek. Herbir durumda,μ veσ sırasıyla 64.25 ve 2 inçte değişmeden kalır.
\text{Nüfus ortalaması } = \mu \newline \text{Nüfus standart sapması }= \sigma \newline \text{Nüfus farkı}= \sigma^2 \newline \text{Örnek ortalama}= \bar{x} \newline \text{Örnek standart sapma }= s\newline \text{Örnek varyans }= s^2
Güven Aralığı Nedir?
Rastgele tek bir kişi seçip ona 20 soruluk bir genel bilim sınavı verdiyseniz, sonucu daha büyük herhangi bir test katılımcısı popülasyonunun ortalaması olarak kullanmak aptalca olur. Bununla birlikte, bu sınav için popülasyon ortalama puanı biliniyorsa, o zaman istatistiğin gücü, Bir dizi değerin (bu durumda puanların) o tek kişinin Puan.
birgüven aralığıdeğeri içerecek bu tür aralıkların beklenen yüzdesine karşılık gelen bir değer aralığıdır. aynı örneklem büyüklükleri kullanılarak, bu tür çok sayıda aralık rastgele oluşturulursa, nüfus. Her zaman varbirazyüzde 100'den küçük belirli bir güven aralığının gerçekten parametrenin gerçek değerini içerip içermediği konusunda belirsiz; çoğu zaman yüzde 95'lik bir güven aralığı kullanılır.
Örnek: Sınav katılımcınızın 22/25 (yüzde 88) puan aldığını ve popülasyon ortalama puanının yüzde 53, standart sapma ± yüzde 10 olduğunu varsayalım. Bu puanın yüzdelik terimlerle ortalamayla ilişkili olduğunu ve ilgili hata payının ne olduğunu bilmenin bir yolu var mı?
Kritik Değerler Nelerdir?
Kritik değerler, şimdiye kadar burada tartışılan sıralama olan normal dağılımlı verilere dayanır. Bu, boy ve kilo gibi merkezi bir ortalamaya göre simetrik olarak dağıtılan verilerdir. Yaş gibi diğer popülasyon değişkenleri normal dağılım göstermez.
Güven aralıklarını belirlemek için kritik değerler kullanılır. Bunlar, popülasyon ortalamalarının, pratik olarak sınırsız sayıda örnekten bir araya getirilmiş çok, çok güvenilir tahminler olduğu ilkesine dayanmaktadır. ile gösterilirlerz, ve seçtiğiniz güven aralığı değerlerini belirlediğinden, onlarla çalışmak için Kaynaklardaki gibi bir grafiğe ihtiyacınız var.
İhtiyacınız olan bir nedenz-değerler (veyaz-skorlar), bir örnek ortalamasının veya bir popülasyon ortalamasının hata payını belirlemektir. Bu hesaplamalar biraz farklı şekillerde ele alınır.
Standart Hata vs. Standart sapma
Bir numunenin standart sapması s her numune için farklıdır; bir dizi örneğin ortalamasının standart hatası, popülasyon standart sapmasına σ bağlıdır ve şu ifadeyle verilir:
\text{Standart hata} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \newline
Hata Marjı Formülü
Z-puanları hakkında yukarıdaki tartışmaya devam etmek için, bunlar seçilen güven aralığından türetilmiştir. İlişkili tabloyu kullanmak için güven aralığı yüzdesini ondalık sayıya dönüştürün, bunu çıkarın miktarı 1.0'dan alın ve sonucu ikiye bölün (çünkü güven aralığı, anlamına gelmek).
CI'nin ondalık gösterimle ifade edilen güven aralığı olduğu (1 - CI) niceliğe,önem düzeyive α ile gösterilir. Örneğin, GA = %95 = 0,95 olduğunda,α = 1.0 − 0.05 = 0.05.
Bu değere sahip olduğunuzda, z-skor tablosunda nerede göründüğünü bulursunuz vez-ilgili satır ve sütun için değerleri not ederek puanlayın. Örneğin, ne zamanα= 0.05, tablodaki 0.05/2 = 0.025 değerine bakın, denirZ(α/2)ile ilişkili olduğunu görünz- 1,9 puan (satır değeri) eksi 0,06 (sütun değeri) dahaz-1.96 puan.
Hata Hesaplamaları Marjı
Artık bazı hata payı hesaplamaları yapmaya hazırsınız. Belirtildiği gibi, bunlar, hata payını tam olarak ne bulduğunuza bağlı olarak farklı şekilde yapılır.
Örnek bir ortalama için hata payı formülü şöyledir:
E = Z_{(α/2)} × s
ve bir popülasyon ortalamasının hata payı için şudur:
E = Z_{(α/2)} × \frac{σ}{\sqrt{n}} = Z_{(α/2)} × \text{standart hata}
Misal: Şehrinizdeki tıklım tıklım izleyen çevrimiçi şovların sayısının, normal olarak 3,2 şovluk bir nüfus standart sapması σ ile dağıtıldığını bildiğinizi varsayalım. 29 kasaba halkından rastgele bir örnek alındı ve örnek ortalama 14.6 gösteri/yıl'dır. %90 güven aralığı kullanıldığında, hata payı nedir?
σ verildiğinden, bu problemi çözmek için yukarıdaki iki denklemden ikincisini kullanacağınızı görüyorsunuz. İlk olarak, σ/√ standart hatasını hesaplayınn:
\frac{3.6}{\sqrt{29}}= 0.67
Şimdi, değerini kullanıyorsunZ(α/2) içinα= 0.10. Tabloda 0.050 değerini bulduğunuzda, bunun bir değere karşılık geldiğini görüyorsunuz.z-1,64 ile -1,65 arasında olduğundan, −1.645 kullanabilirsiniz. Hata payı içinE, bu verir:
E = (−1.645)(0.67) = −1.10
Olumlu bir şekilde başlamış olabileceğinizi unutmayın.zTablonun -skor tarafında ve 0,10 yerine 0,90'a karşılık gelen değeri buldu, çünkü bu, grafiğin karşı (sağ) tarafında karşılık gelen kritik noktayı temsil ediyor. Bu verirdiE= 1.10, hata ortalamanın her iki tarafında aynı olduğu için anlamlıdır.
Özetle, o zaman, 29 komşunuzun örneklemi tarafından yılda tıkanmış gösteri sayısı yılda 14,6 ± 1,10 gösteridir.