Sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik fonksiyonların nasıl ilişkili olduğunu hiç merak ettiniz mi? Her ikisi de üçgenlerde kenarları ve açıları hesaplamak için kullanılır, ancak ilişki bundan daha ileri gider.birlikte işlev kimlikleribize sinüs ve kosinüs, tanjant ve kotanjant ve sekant ve kosekant arasında nasıl dönüştürüleceğini gösteren özel formüller verin.
TL; DR (Çok Uzun; Okumadım)
Bir açının sinüsü, tümleyeninin kosinüsüne eşittir ve bunun tersi de geçerlidir. Bu, diğer işlevler için de geçerlidir.
Hangi işlevlerin eş işlev olduğunu hatırlamanın kolay bir yolu, iki trig işlevininbirlikte işlevlerbunlardan birinin önünde "birlikte-" öneki varsa. Yani:
- sinüs veortaksinüsortakfonksiyonlar.
- teğet veortakteğetortakfonksiyonlar.
- sekant veortaksekantortakfonksiyonlar.
Bu tanımı kullanarak eş işlevler arasında ileri geri hesaplayabiliriz: Bir açının işlevinin değeri, tümleyenin eş işlevinin değerine eşittir.
Bu kulağa karmaşık geliyor, ancak genel olarak bir fonksiyonun değerinden bahsetmek yerine özel bir örnek kullanalım.
sinüsbir açı eşittirkosinüsonun tamamlayıcısı. Aynı şey diğer eş işlevler için de geçerlidir: Bir açının tanjantı, tümleyeninin kotanjantına eşittir.Unutmayın: İki açıtamamlar90 dereceye kadar eklerlerse.
Derecelerde Kofonksiyon Kimlikleri:
(90° −xbize bir açının tümleyenini verir.)
\sin (x) = \cos (90° - x) \\ \cos (x) = \sin (90° - x) \\ \tan (x) = \cot (90° - x) \\ \cot (x) = \tan (90° - x) \\ \sec (x) = \csc (90° - x)\\ \csc (x) = \sn (90° - x)
Radyanlarda Kofonksiyon Kimlikleri
Bir şeyler açısından da yazabileceğimizi unutmayın.radyan, açıları ölçmek için SI birimidir. Doksan derece, π/2 radyan ile aynıdır, dolayısıyla eş işlev kimliklerini şu şekilde de yazabiliriz:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cos (x) = \sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \tan (x) = \cot\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cot (x) = \tan\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \sec (x) = \csc\bigg(\frac{ π}{2} - x\bigg)\\ \,\\ \csc (x) = \sec\bigg(\frac{π}{2} - x\büyük)
Kofonksiyon Kimlikleri Kanıtı
Bunların hepsi kulağa hoş geliyor ama bunun doğru olduğunu nasıl kanıtlayabiliriz? Birkaç örnek üçgen üzerinde kendiniz test etmek, kendinize güvenmenize yardımcı olabilir, ancak daha kesin bir cebirsel kanıt da var. Sinüs ve kosinüs için ortak işlev kimliklerini ispatlayalım. Radyan cinsinden çalışacağız ama bu derece kullanmakla aynı şey.
Kanıt:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x \bigg)
Her şeyden önce, hafızanızda bu formüle geri dönün, çünkü bunu ispatımızda kullanacağız:
\cos (A - B) = \cos (A)\cos (B) + \sin (A)\sin (B)
Anladım? TAMAM MI. Şimdi ispatlayalım: günah(x) = cos (π/2 - x).
cos'u yeniden yazabiliriz (π/2 −x) böyle:
\cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) + \sin\bigg(\frac{π }{2}\bigg)\sin (x) \\ \,\\ \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = 0 × \cos (x) + 1 ×\sin ( x)
çünkü biliyoruz
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ ve } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
Yani
\cos\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) = \sin (x)
Ta-da! Şimdi bunu kosinüs ile ispatlayalım!
Kanıt:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
Geçmişten bir başka patlama: Bu formülü hatırladın mı?
\sin (A - B) = \sin (A)\cos (B) - \cos (A)\sin (B)
Onu kullanmak üzereyiz. Şimdi ispatlayalım:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
Günahı yeniden yazabiliriz (π/2 −x) böyle:
\begin{hizalanmış} \sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) &= \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) - \cos\ bigg(\frac{π}{2}\bigg)\sin (x) \\ &= 1 × \cos (x) - 0 × \sin (x) \end{aligned}
çünkü biliyoruz
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ ve } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
Yani biz
\sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos (x)
Kofonksiyon Hesaplayıcı
Kofonksiyonlarla kendi başınıza çalışan birkaç örnek deneyin. Ancak takılırsanız, Math Celebrity'nin işlev sorunlarına adım adım çözümler gösteren bir işlev hesaplayıcısı vardır.
Mutlu hesaplama!