การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์หมายถึงการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่ส่งด้วยความเร็วต้นแต่ไม่ตกอยู่ภายใต้แรงใดๆ นอกเหนือแรงโน้มถ่วง
ซึ่งรวมถึงปัญหาที่อนุภาคถูกเหวี่ยงทำมุมระหว่าง 0 ถึง 90 องศากับแนวนอน โดยที่แนวนอนมักจะเป็นพื้น เพื่อความสะดวก ขีปนาวุธเหล่านี้ถือว่าเดินทางใน (x, y) เครื่องบินด้วยxแทนการกระจัดในแนวนอนและyการกระจัดในแนวตั้ง
เส้นทางที่ยิงโดยโพรเจกไทล์เรียกว่าเส้นทางของมันวิถี. (โปรดทราบว่าลิงก์ทั่วไปใน "projectile" และ "trajectory" คือพยางค์ "-ject" ซึ่งเป็นคำภาษาละตินที่แปลว่า "throw" การดีดออกคือโยนเขาออกไปอย่างแท้จริง) จุดกำเนิดของโพรเจกไทล์ในปัญหาที่คุณต้องคำนวณวิถีมักจะถือว่าเป็น (0, 0) เพื่อความง่าย เว้นแต่เป็นอย่างอื่น ระบุไว้
วิถีของโพรเจกไทล์คือพาราโบลา (หรืออย่างน้อยก็ติดตามส่วนหนึ่งของพาราโบลา) หากอนุภาคถูกปล่อย ในลักษณะที่มีองค์ประกอบการเคลื่อนที่ในแนวนอนไม่เป็นศูนย์ และไม่มีแรงต้านของอากาศที่จะส่งผลกระทบต่อ อนุภาค.
สมการจลนศาสตร์
ตัวแปรที่น่าสนใจในการเคลื่อนที่ของอนุภาคคือพิกัดตำแหน่งxและy, ความเร็วของมันวีและความเร่งของมัน, ทั้งหมดเกี่ยวกับเวลาที่ผ่านไปที่กำหนดtตั้งแต่เริ่มต้นของปัญหา (เมื่ออนุภาคถูกปล่อยหรือปล่อย) โปรดทราบว่าการละเว้นมวล (m) หมายความว่าแรงโน้มถ่วงบนโลกกระทำโดยไม่ขึ้นกับปริมาณนี้
สังเกตด้วยว่าสมการเหล่านี้ละเลยบทบาทของแรงต้านอากาศ ซึ่งสร้างแรงลากที่ต้านการเคลื่อนที่ในสถานการณ์จริงของโลก ปัจจัยนี้ถูกนำมาใช้ในหลักสูตรกลศาสตร์ระดับสูง
ตัวแปรที่กำหนดตัวห้อย "0" หมายถึงค่าของปริมาณนั้น ณ เวลานั้นt= 0 และเป็นค่าคงที่ บ่อยครั้ง ค่านี้เป็น 0 เนื่องจากระบบพิกัดที่เลือก และสมการจะง่ายกว่ามาก การเร่งถือว่าคงที่ในปัญหาเหล่านี้ (และอยู่ในทิศทาง y และเท่ากับ -กรัมหรือ–9.8 ม./วินาที2ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงใกล้พื้นผิวโลก)
การเคลื่อนไหวในแนวนอน:
x=x_0+v_xt
- คำว่า
วีxคือความเร็ว x คงที่
การเคลื่อนไหวในแนวตั้ง:
y=y_0+((v_{0y}+v_y)/2) t\\ v_y=v_{0y}-gt\\ y=y_0+v_{0y}t-(1/2)gt^2\\ v_y^ 2=v_{0y}^2-2g (y-y_0)
ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
กุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาซึ่งรวมถึงการคำนวณวิถีคือการรู้ว่าองค์ประกอบแนวนอน (x) และแนวตั้ง (y) ของ การเคลื่อนไหวสามารถวิเคราะห์แยกกันได้ ดังที่แสดงไว้ด้านบน และการมีส่วนร่วมตามลำดับต่อการเคลื่อนไหวโดยรวมที่สรุปไว้อย่างเรียบร้อยในตอนท้ายของ ปัญหา.
ปัญหาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นับเป็นปัญหาการตกอย่างอิสระเพราะไม่ว่าสิ่งต่าง ๆ จะดูเป็นอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไปt= 0 แรงเดียวที่กระทำต่อวัตถุที่เคลื่อนที่คือแรงโน้มถ่วง
- โปรดทราบว่าเนื่องจากแรงโน้มถ่วงกระทำการลดลง และนี่คือทิศทาง y ลบ ค่าของการเร่งความเร็วคือ -g ในสมการและปัญหาเหล่านี้
การคำนวณวิถี
1. เหยือกเบสบอลที่เร็วที่สุดสามารถขว้างลูกบอลได้เร็วกว่า 100 ไมล์ต่อชั่วโมงหรือ 45 เมตรต่อวินาที ถ้าโยนลูกบอลขึ้นในแนวตั้งด้วยความเร็วนี้ บอลจะสูงแค่ไหน และต้องใช้เวลานานแค่ไหนกว่าจะกลับสู่จุดที่ปล่อย?
ที่นี่วีy0= 45 เมตร/วินาที, -g= –9.8 m/s และปริมาณดอกเบี้ยเป็นความสูงสูงสุด หรือคุณและเวลาทั้งหมดกลับสู่โลก เวลาทั้งหมดเป็นการคำนวณสองส่วน: เวลาสูงถึง y และเวลากลับลงไปที่ y0 = 0. สำหรับปัญหาส่วนแรกนั้นวีy,เมื่อลูกบอลถึงจุดสูงสุดจะเป็น 0
เริ่มต้นด้วยการใช้สมการวีy2= วี0ปี2 – 2g (y – y0)และเสียบค่าที่คุณมี:
0 = (45)^2 – (2)(9.8)(y – 0) = 2,025 – 19.6y\implies y=103.3\text{ m}
สมการวีy = วี0ปี – gtแสดงว่าเวลาที่ใช้คือ (45/9.8) = 4.6 วินาที เพื่อให้ได้เวลาทั้งหมด ให้เพิ่มค่านี้กับเวลาที่ลูกบอลตกลงไปที่จุดเริ่มต้นอย่างอิสระ มอบให้โดยy = y0 + v0ปีt – (1/2)gt2ที่ตอนนี้เพราะลูกบอลยังคงอยู่ในทันทีก่อนที่มันจะเริ่มดิ่งลงวี0ปี = 0.
การแก้ปัญหา :
103.3=(1/2)gt^2\นัย t=4.59\ข้อความ{ s}
ดังนั้นเวลาทั้งหมดคือ 4.59 + 4.59 = 9.18 วินาที ผลที่น่าประหลาดใจที่แต่ละ "ขา" ของการเดินทางขึ้นและลงใช้เวลาเท่ากันตอกย้ำความจริงที่ว่าแรงโน้มถ่วงเป็นแรงเดียวในการเล่นที่นี่
2. สมการช่วง:เมื่อกระสุนถูกยิงด้วยความเร็ววี0และมุม θ จากแนวราบ มันมีองค์ประกอบความเร็วเริ่มต้นในแนวนอนและแนวตั้งวี0x = วี0(cos θ) และวี0ปี = วี0(บาป θ).
เพราะวีy = วี0ปี – gt, และวีy = 0 เมื่อโพรเจกไทล์ถึงความสูงสูงสุด เวลาถึงความสูงสูงสุดกำหนดโดย t =วี0ปี/g. เนื่องจากมีความสมมาตรจึงใช้เวลาในการกลับคืนสู่พื้นดิน (หรือ y = y0) เป็นเพียง 2t = 2วี0ปี/g.
สุดท้าย รวมสิ่งเหล่านี้กับความสัมพันธ์ x =วี0xt ระยะทางแนวนอนที่เคลื่อนที่โดยให้มุมปล่อย คือθ
R=2\frac{v_0^2\sin{\theta}\cos{\theta}}{g}=\frac{v_0^2\sin{2\theta}}{g}
(ขั้นตอนสุดท้ายมาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ)
เนื่องจาก sin2θ อยู่ที่ค่าสูงสุด 1 เมื่อ θ = 45 องศา การใช้มุมนี้จะเพิ่มระยะห่างในแนวนอนสูงสุดสำหรับความเร็วที่กำหนดที่
R=\frac{v_0^2}{g}