วิธีแก้ระบบสมการด้วยกราฟ

ระบบสมการสามารถช่วยแก้ปัญหาในชีวิตจริงได้ในทุกสาขา ตั้งแต่เคมี ธุรกิจ ไปจนถึงกีฬา การแก้ปัญหาไม่ใช่แค่สำคัญสำหรับเกรดคณิตศาสตร์ของคุณเท่านั้น สามารถช่วยประหยัดเวลาได้มาก ไม่ว่าคุณจะพยายามกำหนดเป้าหมายสำหรับธุรกิจหรือทีมกีฬาของคุณ

ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)

ในการแก้ระบบสมการด้วยการสร้างกราฟ ให้วาดกราฟแต่ละเส้นบนระนาบพิกัดเดียวกันและดูว่าตัดกันที่ไหน

ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพว่าคุณกับเพื่อนกำลังตั้งร้านขายน้ำมะนาว คุณตัดสินใจที่จะแบ่งแยกและยึดครอง ดังนั้นเพื่อนของคุณจะไปที่สนามบาสเก็ตบอลในละแวกบ้านในขณะที่คุณอยู่ที่มุมถนนของครอบครัวคุณ ในตอนท้ายของวัน คุณรวมเงินของคุณ คุณทำเงินได้ 200 ดอลลาร์ร่วมกัน แต่เพื่อนของคุณทำเงินได้มากกว่าคุณ 50 ดอลลาร์ แต่ละคนทำเงินได้เท่าไหร่?

หรือคิดเกี่ยวกับบาสเก็ตบอล: การยิงนอกเส้น 3 แต้มมีค่า 3 แต้ม, ตะกร้าภายในเส้น 3 แต้มมีค่า 2 แต้มและการโยนโทษมีค่าเพียง 1 แต้ม คู่ต่อสู้ของคุณนำหน้าคุณ 19 แต้ม คุณสามารถผสมตะกร้าอะไรได้บ้างเพื่อให้ทัน?

กราฟเป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ระบบสมการ สิ่งที่คุณต้องทำคือสร้างกราฟทั้งสองเส้นบนระนาบพิกัดเดียวกัน แล้วดูว่ามันตัดกันตรงไหน

ก่อนอื่น คุณต้องเขียนคำว่า ปัญหา ให้เป็นระบบสมการ กำหนดตัวแปรให้กับสิ่งที่ไม่รู้จัก เรียกเงินที่คุณทำYและเงินที่เพื่อนของคุณทำ friendF​.

ตอนนี้คุณมีข้อมูลสองประเภท: ข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนเงินที่คุณทำร่วมกัน และข้อมูลเกี่ยวกับวิธีหาเงินของคุณเทียบกับเงินที่เพื่อนของคุณทำ สิ่งเหล่านี้จะกลายเป็นสมการ

สำหรับสมการแรก ให้เขียน:

เนื่องจากเงินของคุณบวกเงินของเพื่อนคุณรวมกันได้มากถึง $200

ถัดไป เขียนสมการเพื่ออธิบายการเปรียบเทียบระหว่างรายได้ของคุณ

เพราะจำนวนเงินที่คุณทำนั้นเท่ากับ 50 ดอลลาร์น้อยกว่าที่เพื่อนของคุณทำ คุณยังสามารถเขียนสมการนี้เป็นY​ + 50 = ​Fเนื่องจากสิ่งที่คุณทำ บวก 50 ดอลลาร์ เท่ากับที่เพื่อนของคุณทำ นี่เป็นวิธีการเขียนสิ่งเดียวกันที่แตกต่างกันและจะไม่เปลี่ยนคำตอบสุดท้ายของคุณ

ดังนั้นระบบสมการจึงมีลักษณะดังนี้:

ต่อไป คุณต้องสร้างกราฟสมการทั้งสองบนระนาบพิกัดเดียวกัน กราฟจำนวนเงินของคุณY, บนy-axis และจำนวนเงินของเพื่อนของคุณF, บนx-axis (อันที่จริงไม่สำคัญหรอกว่าอันไหนตราบเท่าที่คุณติดป้ายกำกับอย่างถูกต้อง) คุณสามารถใช้กระดาษกราฟและดินสอ เครื่องคำนวณกราฟแบบใช้มือถือ หรือเครื่องคำนวณกราฟออนไลน์

ตอนนี้สมการหนึ่งอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและอีกสมการอยู่ในรูปแบบความชัน-ค่าตัดขวาง นั่นไม่ใช่ปัญหา แต่จำเป็น แต่เพื่อความสม่ำเสมอ ให้สมการทั้งสองอยู่ในรูปแบบความชัน-ค่าตัดขวาง

ดังนั้นสำหรับสมการแรก ให้แปลงจากรูปแบบมาตรฐานเป็นรูปแบบความชัน-ค่าตัดขวาง นั่นหมายถึงแก้ให้Y; กล่าวอีกนัยหนึ่ง ได้รับYด้วยตัวเองทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ ลบเลยFจากทั้งสองด้าน:

จำไว้ว่าในรูปแบบความชัน-ค่าตัดขวาง ตัวเลขที่อยู่หน้า F คือความชัน และค่าคงที่คือค่าตัดแกน y

ในการสร้างกราฟสมการแรกY​ = −​F+ 200 วาดจุดที่ (0, 200) แล้วใช้ความชันเพื่อหาจุดเพิ่มเติม ความชันคือ -1 ดังนั้นให้ลงไปหนึ่งหน่วยและมากกว่าหนึ่งหน่วยแล้ววาดจุด นั่นสร้างจุดที่ (1,199) และถ้าคุณทำซ้ำขั้นตอนโดยเริ่มจากจุดนั้น คุณจะได้อีกจุดที่ (2, 198) นี่เป็นการเคลื่อนไหวเล็ก ๆ บนเส้นใหญ่ ดังนั้นให้วาดจุด more อีกจุดหนึ่งx- สกัดกั้นเพื่อให้แน่ใจว่าคุณมีกราฟที่ดีในระยะยาว ถ้าY= 0 แล้วก็Fจะเป็น 200 ดังนั้นวาดจุดที่ (200, 0)

ในการสร้างกราฟสมการที่สองY​ = ​F– 50 ใช้จุดตัดแกน y ของ -50 เพื่อวาดจุดแรกที่ (0, −50) เนื่องจากความชันเป็น 1 ให้เริ่มต้นที่ (0, −50) แล้วขึ้นไปหนึ่งหน่วยและมากกว่าหนึ่งหน่วย นั่นทำให้คุณอยู่ที่ (1, −49) ทำซ้ำขั้นตอนโดยเริ่มจาก (1, −49) และคุณจะได้จุดที่สามที่ (2, −48) อีกครั้ง เพื่อให้แน่ใจว่าคุณกำลังทำสิ่งที่เรียบร้อยในระยะทางไกล ให้ตรวจสอบตัวเองอีกครั้งด้วยการวาดในx-สกัดกั้น เมื่อไหร่Y​ = 0, ​Fจะเป็น 50 ดังนั้นให้วาดจุดที่ (50, 0) ด้วย ลากเส้นตรงเชื่อมจุดเหล่านี้

ดูกราฟของคุณอย่างใกล้ชิดเพื่อดูว่าเส้นสองเส้นตัดกันที่ใด นี่จะเป็นคำตอบ เพราะคำตอบของระบบสมการคือจุด (หรือจุด) ที่ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริง บนกราฟ ลักษณะนี้จะดูเหมือนจุด (หรือจุด) ที่เส้นสองเส้นตัดกัน

ในกรณีนี้ เส้นสองเส้นตัดกันที่ (125, 75) ดังนั้นวิธีแก้ไขคือเพื่อนของคุณ (thex-coordinate) ทำเงินได้ 125 เหรียญ และคุณ (they-ประสานงาน) ทำเงินได้ 75 เหรียญ

ตรวจสอบตรรกะด่วน: สิ่งนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ ทั้งสองค่ารวมกันเป็น 200 และ 125 คือ 50 มากกว่า 75 ฟังดูเข้าท่า.

ในกรณีนี้ มีจุดหนึ่งที่เส้นสองเส้นตัดกัน เมื่อคุณทำงานกับระบบสมการ มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สามอย่าง และแต่ละผลลัพธ์จะมีลักษณะแตกต่างกันบนกราฟ

• หากระบบมีทางออกเดียว เส้นจะตัดกันที่จุดเดียว ดังเช่นในตัวอย่าง
• หากระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เส้นจะไม่มีวันข้าม พวกมันจะขนานกัน ซึ่งในแง่พีชคณิตหมายความว่าพวกมันจะมีความชันเท่ากัน
• ระบบยังสามารถมีคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่า "สอง" บรรทัดนั้นเป็นบรรทัดเดียวกัน พวกมันจะมีจุดร่วมทุกจุด ซึ่งเป็นคำตอบจำนวนอนันต์