วิธีลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรรกยะ: ทีละขั้นตอน

ก่อนที่คุณจะเริ่มลดความซับซ้อนหรือจัดการนิพจน์ที่มีเหตุผล ให้ใช้เวลาสักครู่เพื่อทบทวนสิ่งที่ นิพจน์ตรรกยะคือ: เศษส่วนที่มีพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน หรือพูดอีกอย่างก็คือ อัตราส่วนของพหุนามหนึ่งต่ออีกนัยหนึ่ง เมื่อคุณระบุนิพจน์ตรรกยะได้แล้ว กระบวนการลดความซับซ้อนลงเหลือสามขั้นตอน

กระบวนการในการทำให้ฟังก์ชันตรรกยะง่ายขึ้นเป็นไปตามแผนงานที่ค่อนข้างง่าย อย่างแรกที่คุณต้องทำคือรวมพจน์ ถ้าคุณยังไม่ได้ทำ เพื่อช่วยให้เห็นพหุนามได้ชัดเจน

ต่อไป แยกตัวประกอบพหุนามแต่ละตัว บางครั้งสิ่งที่คุณต้องทำคือเขียนทุกเทอม ตัวอย่างเช่น ชัดเจนว่า 4x (ซึ่งอันที่จริงเป็นพหุนามถึงแม้ว่าจะมีเพียงเทอมเดียว) มีสองปัจจัย: 4 และ x. แต่ด้วยพหุนามที่ซับซ้อนกว่านี้ เครื่องมือที่ดีที่สุดของคุณมักจะรู้จักรูปแบบสำหรับพหุนามบางประเภทที่คุณได้เรียนรู้ไปแล้ว ตัวอย่างเช่น หากคุณให้ความสำคัญกับสูตรของคุณมาก คุณอาจจำได้ว่าพหุนามของฟอร์ม ² - ข² ปัจจัยออกไป (a + b)(a - b).

เมื่อพหุนามของคุณแยกตัวประกอบครบถ้วนแล้ว ขั้นตอนสุดท้ายคือการยกเลิกตัวประกอบร่วมใดๆ ที่ปรากฏทั้งในตัวเศษและตัวส่วน ผลที่ได้คือพหุนามตัวย่อของคุณ

• จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพหุนามในนิพจน์ตรรกยะของคุณไม่ใช่รูปแบบที่คุณรู้ว่าจะแยกตัวประกอบอย่างง่ายดายได้อย่างไร มีเทคนิคอื่นๆ ที่คุณสามารถใช้เพื่อแยกตัวประกอบ เช่น การเติมกำลังสองหรือใช้สูตรกำลังสอง

คุณอาจไม่แปลกใจที่ได้ยินว่ามีบางสิ่งที่น่าจับตามองที่นี่ โดยปกติโดเมน (หรือชุดของที่เป็นไปได้ x ค่า) สำหรับนิพจน์ตรรกยะของคุณจะถือว่าเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด แต่ถ้ามีอะไรเกิดขึ้นเพื่อทำให้ตัวส่วนของเศษของคุณเป็นศูนย์ ผลลัพธ์ก็คือเศษส่วนที่ไม่ได้กำหนดไว้

อะไรจะทำให้ตัวส่วนของคุณเป็นศูนย์ โดยปกติแล้วการตรวจสอบเพียงเล็กน้อยก็เพื่อค้นหา ตัวอย่างเช่น หากตัวส่วนของเศษส่วนของคุณถูกลดจำนวนลงเป็นตัวประกอบ (x + 2)(x - 2)แล้วค่า x = -2 จะทำให้ตัวประกอบแรกเท่ากับศูนย์และ x = 2 จะทำให้ตัวประกอบที่สองเท่ากับศูนย์

ดังนั้นค่าทั้งสองนั้น -2 และ 2 ต้องถูกแยกออกจากโดเมนของนิพจน์ตรรกยะของคุณ ปกติจะใส่เครื่องหมาย "ไม่เท่ากัน" หรือ ≠ ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการยกเว้น -2 และ 2 จากโดเมน คุณจะต้องเขียน x ≠ -2, 2.

เมื่อคุณเข้าใจกระบวนการของการลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรรกยะแล้ว ก็ถึงเวลาดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1: ลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรรกยะ (x² - 4) / (x²+ 4x + 4)

ไม่มีคำที่คล้ายกันที่จะรวมกันที่นี่ ดังนั้นคุณสามารถข้ามขั้นตอนแรกนั้นได้ ต่อไป ด้วยสายตาที่เฉียบแหลมและการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณจะสังเกตได้ว่าทั้งตัวเศษและตัวส่วนแยกตัวประกอบได้ง่าย

(x + 2)(x - 2) / (x + 2)(x + 2)

บางทีคุณอาจจะสังเกตเห็นว่า (x + 2) เป็นตัวประกอบทั้งตัวเศษและตัวส่วน เมื่อคุณยกเลิกปัจจัยที่ใช้ร่วมกัน คุณจะเหลือ:

(x - 2) / (x + 2)

คุณได้ลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรรกยะของคุณเท่าที่จะทำได้ แต่มีอีกสิ่งหนึ่งที่ต้องทำ: "ศูนย์" หรือรากใด ๆ ที่จะส่งผลให้เป็นเศษส่วนที่ไม่ได้กำหนด ดังนั้นคุณสามารถแยกค่าเหล่านั้นออกจาก โดเมน. ในกรณีนี้จะสังเกตได้ง่ายว่าเมื่อไร x = -2 ตัวประกอบที่อยู่ด้านล่างจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นนิพจน์ตรรกยะแบบง่ายของคุณจึงเป็นดังนี้:

(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2

ตัวอย่างที่ 2: ลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรรกยะ x / (x² - 4x)

ไม่มีคำศัพท์ที่คล้ายคลึงที่จะรวมกัน ดังนั้นคุณสามารถไปที่การแยกตัวประกอบโดยตรงโดยการตรวจสอบ ไม่ยากเกินไปที่จะระบุได้ว่าคุณสามารถแยกตัวประกอบ an x นอกเงื่อนไขด้านล่าง ซึ่งช่วยให้คุณ:

x / x (x - 4)

คุณสามารถยกเลิก x ตัวประกอบจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน ซึ่งทำให้คุณมี:

1 / (x - 4)

ตอนนี้นิพจน์ตรรกยะของคุณถูกทำให้ง่ายขึ้น แต่คุณต้องสังเกตด้วย x ค่าที่จะส่งผลให้เป็นเศษส่วนที่ไม่ได้กำหนด ในกรณีนี้, x = 4 จะคืนค่าศูนย์ในตัวส่วน ดังนั้นคำตอบของคุณคือ:

1 / (x - 4), x ≠ 4