การแก้ความไม่เท่าเทียมกันของค่าสัมบูรณ์นั้นคล้ายกับการแก้สมการค่าสัมบูรณ์ แต่มีรายละเอียดเพิ่มเติมสองสามข้อที่ควรคำนึงถึง การแก้สมการค่าสัมบูรณ์จะช่วยให้รู้สึกสบายใจอยู่แล้ว แต่ไม่เป็นไรหากคุณเรียนรู้ร่วมกันด้วย!
คำจำกัดความของความไม่เท่าเทียมกันของค่าสัมบูรณ์
ก่อนอื่นเลยความไม่เท่าเทียมกันของค่าสัมบูรณ์เป็นความไม่เท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับการแสดงออกของค่าสัมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น,
| 5 + x | - 10 > 6
เป็นความไม่เท่าเทียมกันของค่าสัมบูรณ์เนื่องจากมีเครื่องหมายอสมการ > และนิพจน์ค่าสัมบูรณ์ | 5 +x |.
วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันของค่าสัมบูรณ์
ขั้นตอนในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของค่าสัมบูรณ์เหมือนกับขั้นตอนในการแก้สมการค่าสัมบูรณ์:
ขั้นตอนที่ 1:แยกนิพจน์ค่าสัมบูรณ์ด้านหนึ่งของอสมการ
ขั้นตอนที่ 2:แก้ "รุ่น" เชิงบวกของความไม่เท่าเทียมกัน
ขั้นตอนที่ 3:แก้ "เวอร์ชัน" เชิงลบของอสมการโดยการคูณปริมาณในอีกด้านหนึ่งของอสมการด้วย -1 แล้วพลิกเครื่องหมายอสมการ
มีหลายอย่างที่ต้องทำในคราวเดียว ดังนั้นนี่คือตัวอย่างที่จะแนะนำคุณตลอดขั้นตอนต่างๆ
แก้ความไม่เท่าเทียมกันสำหรับx:
| 5 + 5x | - 3 > 2
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ รับ | 5 + 5x| ด้วยตัวเองทางด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกัน สิ่งที่คุณต้องทำคือเพิ่ม 3 ในแต่ละด้าน:
| 5 + 5x | - 3 + 3 > 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
ขณะนี้มีสอง "เวอร์ชัน" ของความไม่เท่าเทียมกันที่เราจำเป็นต้องแก้ไข: "เวอร์ชัน" เชิงบวกและ "เวอร์ชันเชิงลบ"
สำหรับขั้นตอนนี้ เราจะถือว่าสิ่งต่าง ๆ เป็นอย่างที่ปรากฏ: that 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x > 5
นี่เป็นความไม่เท่าเทียมกันอย่างง่าย คุณเพียงแค่ต้องแก้เพื่อxเหมือนอย่างเคย. ลบ 5 จากทั้งสองข้าง แล้วหารทั้งสองข้างด้วย 5
\begin{aligned} &5 + 5x > 5 \\ &5 + 5x - 5 > 5 - 5 \quad \text{(ลบห้าจากทั้งสองข้าง)} \\ &5x > 0 \\ &5x (÷ 5) > 0 (÷ 5) \quad \text{(หารทั้งสองข้างด้วยห้า)} \\ &x > 0 \end{aligned}
ไม่เลว! ทางออกหนึ่งที่เป็นไปได้สำหรับความไม่เท่าเทียมกันของเราคือx> 0. เนื่องจากมีค่าสัมบูรณ์ที่เกี่ยวข้อง จึงถึงเวลาพิจารณาความเป็นไปได้อื่น
เพื่อทำความเข้าใจส่วนถัดไปนี้ จะช่วยให้จำได้ว่าค่าสัมบูรณ์หมายถึงอะไรค่าสัมบูรณ์วัดระยะห่างของตัวเลขจากศูนย์ ระยะทางเป็นบวกเสมอ ดังนั้น 9 จึงอยู่ห่างจากศูนย์เก้าหน่วย แต่ -9 ก็อยู่ห่างจากศูนย์เก้าหน่วยเช่นกัน
ดังนั้น | 9 | = 9 แต่ | −9 | = 9 เช่นกัน
ตอนนี้กลับไปที่ปัญหาด้านบน ผลงานด้านบนแสดงให้เห็นว่า | 5 + 5x| > 5; กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าสัมบูรณ์ของ "บางสิ่ง" มากกว่าห้า ทีนี้ จำนวนบวกใดๆ ที่มากกว่าห้าจะอยู่ห่างจากศูนย์มากกว่าห้า ดังนั้นตัวเลือกแรกก็คือ "บางอย่าง" 5 + 5x, มากกว่า 5
นั่นคือ:
5 + 5x > 5
นั่นคือสถานการณ์ที่จัดการข้างต้นในขั้นตอนที่ 2
ตอนนี้คิดต่อไปอีกหน่อย อะไรอีกห้าหน่วยห่างจากศูนย์? ทีนี้ ลบ 5 คือ และอะไรก็ตามที่อยู่ตามเส้นจำนวนจากลบ 5 จะอยู่ห่างจากศูนย์มากขึ้นไปอีก ดังนั้น "บางอย่าง" ของเราอาจเป็นจำนวนลบที่อยู่ไกลจากศูนย์มากกว่าลบห้า นั่นหมายความว่ามันจะเป็นตัวเลขที่ฟังดูดีกว่า แต่ในทางเทคนิคแล้วน้อยกว่าลบ 5 เพราะเคลื่อนที่ไปในทิศทางลบบนเส้นจำนวน
ดังนั้น "บางอย่าง" 5 + 5x ของเราจึงอาจน้อยกว่า −5
5 + 5x < -5
วิธีที่รวดเร็วในการทำเช่นนี้เชิงพีชคณิตคือการคูณปริมาณในอีกด้านหนึ่งของอสมการ 5 ด้วยลบหนึ่ง แล้วพลิกเครื่องหมายอสมการ:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x < - 5
แล้วแก้ตามปกติ
\begin{aligned} &5 + 5x < -5 \\ &5 + 5x - 5 < -5 - 5 \quad \text{(ลบ 5 จากทั้งสองข้าง)} \\ &5x < -10 \\ &5x (÷ 5) < -10 (÷ 5) \\ &x < - 2 \end{aligned}
ดังนั้นคำตอบที่เป็นไปได้สองประการของความไม่เท่าเทียมกันคือx> 0 หรือx< −2. ตรวจสอบตัวเองโดยเสียบวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สองสามข้อเพื่อให้แน่ใจว่าความไม่เท่าเทียมกันยังคงเป็นจริง
ความไม่เท่าเทียมกันของมูลค่าที่แน่นอนโดยไม่มีวิธีแก้ไข
มีฉากหนึ่งที่จะมีไม่มีวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของค่าสัมบูรณ์. เนื่องจากค่าสัมบูรณ์เป็นค่าบวกเสมอ จึงไม่สามารถเท่ากับหรือน้อยกว่าจำนวนลบได้
ดังนั้น |x| < −2 มีไม่มีทางออกเพราะผลลัพธ์ของการแสดงออกค่าสัมบูรณ์ต้องเป็นบวก
สัญกรณ์ช่วงเวลา
เพื่อเขียนคำตอบของตัวอย่างหลักของเราในสัญกรณ์ช่วงเวลา, ลองคิดดูว่าคำตอบจะมีลักษณะอย่างไรบนเส้นจำนวน ทางออกของเราคือx> 0 หรือx< −2. บนเส้นจำนวน นั่นคือจุดเปิดที่ 0 โดยมีเส้นขยายออกไปถึงอนันต์บวก และจุดที่เปิดที่ −2 โดยมีเส้นขยายออกไปถึงอนันต์เชิงลบ วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ชี้ออกจากกัน ไม่ใช่เข้าหากัน ดังนั้นให้แยกแต่ละส่วนออกจากกัน
สำหรับ x > 0 บนเส้นจำนวน จะมีจุดเปิดที่ศูนย์ จากนั้นเส้นที่ขยายออกไปถึงอนันต์ ในสัญกรณ์แบบช่วงเวลา จุดเปิดจะแสดงด้วยวงเล็บ ( ) และจุดปิด หรือความไม่เท่าเทียมกันที่มี ≥ หรือ ≤ จะใช้วงเล็บเหลี่ยม [ ] ดังนั้นสำหรับx> 0, เขียน (0, ∞)
อีกครึ่งหนึ่ง,x< -2 บนเส้นจำนวนเป็นจุดเปิดที่ -2 จากนั้นลูกศรขยายไปจนถึง −∞ ในสัญกรณ์แบบช่วงเวลา นั่นคือ (−∞, −2)
"หรือ" ในสัญกรณ์เป็นช่วงคือเครื่องหมายยูเนี่ยน ∪
ดังนั้นคำตอบของสัญกรณ์ช่วงเวลาคือ
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)