การเรียนรู้ที่จะจัดการกับเลขชี้กำลังเป็นส่วนสำคัญของการศึกษาคณิตศาสตร์ แต่โชคดีที่กฎสำหรับการคูณและหารตรงกับกฎสำหรับเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่เศษส่วน ขั้นตอนแรกในการทำความเข้าใจวิธีจัดการกับเลขชี้กำลังเศษส่วนคือการสรุปว่ามันคืออะไร จากนั้นคุณสามารถดูวิธีที่คุณสามารถรวมเลขชี้กำลังเมื่อคูณหรือหารและมีค่าเท่ากัน ฐาน. โดยสังเขป คุณบวกเลขชี้กำลังเข้าด้วยกันเมื่อคูณและลบตัวหนึ่งออกจากตัวอื่นเมื่อทำการหาร โดยมีฐานเท่ากัน
ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)
คูณพจน์ที่มีเลขชี้กำลังโดยใช้กฎทั่วไป:
x + xข = x( + ข)
และหารเทอมด้วยเลขชี้กำลังโดยใช้กฎ:
x ÷ xข = x( – ข)
กฎเหล่านี้ใช้ได้กับนิพจน์ใด ๆ แทนและขแม้แต่เศษส่วน
เลขชี้กำลังเศษส่วนคืออะไร?
เลขชี้กำลังเศษส่วนเป็นวิธีที่กะทัดรัดและมีประโยชน์ในการแสดงรากที่สอง ลูกบาศก์ และรากที่สูงกว่า ตัวส่วนบนเลขชี้กำลังบอกคุณว่ารากของตัวเลข "ฐาน" นั้นหมายถึงอะไร ในแง่เช่นx, คุณเรียกxฐานและเลขชี้กำลัง ดังนั้นเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนจะบอกคุณว่า:
x^{1/2} = \sqrt{x}
ตัวหารของสองบนเลขชี้กำลังบอกคุณว่าคุณกำลังหารากที่สองของxในการแสดงออกนี้ กฎพื้นฐานเดียวกันนี้ใช้กับรากที่สูงกว่า:
x^{1/3} = \sqrt[3]{x}
และ
x^{1/4} = \sqrt[4]{x}
รูปแบบนี้ดำเนินต่อไป สำหรับตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม:
9^{1/2} = \sqrt{9}=3
และ
8^{1/3} = \sqrt[3]{8}=2
กฎเลขชี้กำลังเศษส่วน: การคูณเลขชี้กำลังเศษส่วนด้วยฐานเดียวกัน Same
คูณพจน์ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน (โดยมีฐานเท่ากัน) โดยบวกเลขชี้กำลังเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่น:
x^{1/3} × x^{1/3} × x^{1/3} = x^{(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x^1 = x
ตั้งแต่x1/3 หมายถึง “รากที่สามของx” มันสมเหตุสมผลดีที่สิ่งนี้คูณด้วยตัวมันเองสองครั้งให้ผลลัพธ์x. คุณอาจพบตัวอย่างเช่นx1/3 × x1/3แต่คุณจัดการกับสิ่งเหล่านี้ในลักษณะเดียวกัน:
x^{1/3} × x^{1/3} = x^{( 1/3 + 1/3)} \\ = x^{2/3}
ความจริงที่ว่านิพจน์ในตอนท้ายยังคงเป็นเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนไม่ได้สร้างความแตกต่างให้กับกระบวนการ สิ่งนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หากคุณสังเกตว่าx2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. ด้วยการแสดงออกเช่นนี้ ไม่สำคัญว่าคุณจะหยั่งรากหรืออำนาจก่อน ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นถึงวิธีการคำนวณเหล่านี้:
8^{1/3} + 8^{1/3} = 8^{2/3} \\ = (\sqrt[3]{8})^2
เนื่องจากรากที่สามของ 8 นั้นง่ายต่อการคำนวณ ให้จัดการดังนี้:
(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4
นี่หมายความว่า:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
คุณอาจพบผลคูณของเลขชี้กำลังเศษส่วนที่มีจำนวนต่างกันในตัวส่วนของเศษส่วน และคุณสามารถเพิ่มเลขชี้กำลังเหล่านี้ได้ในลักษณะเดียวกับการบวกเศษส่วนอื่นๆ ตัวอย่างเช่น:
\เริ่มต้น{จัดตำแหน่ง} x^{1/4} × x^{1/2} &= x^{(1/4 + 1/2)} \\ &= x^{(1/4 + 2/4 )} \\ &= x^{3/4} \end{จัดตำแหน่ง}
เหล่านี้เป็นนิพจน์เฉพาะของกฎทั่วไปสำหรับการคูณนิพจน์สองนิพจน์ด้วยเลขชี้กำลัง:
x^a + x^b = x^{(a + b)}
กฎเลขชี้กำลังเศษส่วน: การหารเลขชี้กำลังเศษส่วนด้วยฐานเดียวกัน
จัดการกับการหารของตัวเลขสองตัวด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนโดยลบเลขชี้กำลังที่คุณหาร (ตัวหาร) ด้วยตัวที่คุณหาร (เงินปันผล) ตัวอย่างเช่น:
x^{1/2} ÷ x^{1/2} = x^{(1/2 - 1/2)} \\ = x^0 = 1
เรื่องนี้สมเหตุสมผล เพราะจำนวนใดๆ ที่หารด้วยตัวมันเองเท่ากับหนึ่ง และนี่สอดคล้องกับผลลัพธ์มาตรฐานที่จำนวนใดๆ ที่ยกกำลัง 0 เท่ากับหนึ่ง ตัวอย่างต่อไปใช้ตัวเลขเป็นฐานและเลขชี้กำลังที่แตกต่างกัน:
\begin{aligned} 16^{1/2} ÷ 16^{1/4} &= 16^{(1/2 - 1/4)} \\ &= 16^{(2/4 - 1/4) )} \\ &= 16^{1/4} \\ &= 2 \end{จัดตำแหน่ง}
ซึ่งคุณสามารถดูได้ถ้าคุณสังเกตว่า 161/2 = 4 และ 161/4 = 2.
เช่นเดียวกับการคูณ คุณอาจลงเอยด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนที่มีตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ตัวเศษ แต่คุณจัดการกับสิ่งเหล่านี้ในลักษณะเดียวกัน
สิ่งเหล่านี้แสดงกฎทั่วไปสำหรับการหารเลขชี้กำลัง:
x^a ÷ x^b = x^{(a - b)}
การคูณและหารเลขชี้กำลังเศษส่วนในฐานต่างๆ
ถ้าฐานของพจน์ต่างกัน ก็ไม่มีทางง่ายที่จะคูณหรือหารเลขชี้กำลังได้ ในกรณีเหล่านี้ เพียงคำนวณมูลค่าของแต่ละเงื่อนไขแล้วดำเนินการตามที่ต้องการ ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือถ้าเลขชี้กำลังเท่ากัน ซึ่งในกรณีนี้ คุณสามารถคูณหรือหารได้ดังนี้:
x^4 × y^4 = (xy)^4 \\ x^4 ÷ y^4 = (x ÷ y)^4