การแยกตัวประกอบพหุนามช่วยให้นักคณิตศาสตร์หาค่าศูนย์หรือคำตอบของฟังก์ชันได้ ค่าศูนย์เหล่านี้บ่งชี้ถึงการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญของอัตราการเพิ่มขึ้นและลดลง และโดยทั่วไปจะทำให้กระบวนการวิเคราะห์ง่ายขึ้น สำหรับพหุนามที่มีดีกรีสามหรือสูงกว่า หมายความว่าเลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปรคือสามหรือมากกว่า แฟคตอริ่งอาจดูน่าเบื่อมากขึ้น ในบางกรณี วิธีการจัดกลุ่มจะทำให้เลขคณิตสั้นลง แต่ในกรณีอื่นๆ คุณอาจจำเป็นต้องทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชันหรือพหุนาม ก่อนที่คุณจะดำเนินการวิเคราะห์ต่อไปได้
วิเคราะห์พหุนามเพื่อพิจารณาการแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม ถ้าพหุนามอยู่ในรูปที่เอาตัวประกอบร่วมมากที่สุด (GCF) ออกจาก สองคำแรกและสองคำสุดท้ายเผยให้เห็นปัจจัยร่วมอื่น คุณสามารถใช้การจัดกลุ่ม วิธี. ตัวอย่างเช่น ให้ F(x) = x³ – x² – 4x + 4 เมื่อคุณลบ GCF ออกจากเทอมแรกและสองเทอมสุดท้าย คุณจะได้รับสิ่งต่อไปนี้: x²(x – 1) – 4 (x – 1) ตอนนี้คุณสามารถดึง (x – 1) ออกจากแต่ละส่วนเพื่อรับ (x² – 4) (x – 1) โดยใช้วิธี "difference of squares" คุณสามารถทำต่อไปได้: (x – 2) (x + 2) (x – 1) เมื่อปัจจัยแต่ละอย่างอยู่ในรูปแบบเฉพาะหรือไม่มีปัจจัย แสดงว่าคุณทำเสร็จแล้ว
มองหาความแตกต่างหรือผลรวมของลูกบาศก์ ถ้าพหุนามมีเพียงสองเทอม แต่ละเทอมมีลูกบาศก์สมบูรณ์ คุณสามารถแยกตัวประกอบตามสูตรลูกบาศก์ที่ทราบได้ สำหรับผลรวม (x³ + y³) = (x + y) (x² – xy + y²) สำหรับความแตกต่าง (x³ – y³) = (x – y) (x² + xy + y²) ตัวอย่างเช่น ให้ G(x) = 8x³ – 125 จากนั้นการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่สามนี้อาศัยผลต่างของลูกบาศก์ดังนี้ (2x – 5) (4x² + 10x + 25) โดยที่ 2x คือรากที่สามของ 8x³ และ 5 คือลูกบาศก์รูทของ 125 เนื่องจาก 4x² + 10x + 25 เป็นจำนวนเฉพาะ คุณจึงทำแฟคตอริ่งเสร็จแล้ว
ดูว่า GCF มีตัวแปรที่สามารถลดดีกรีของพหุนามหรือไม่ ตัวอย่างเช่น ถ้า H(x) = x³ – 4x แยกตัวประกอบ GCF ของ “x” ออกมา คุณจะได้ x (x² - 4) จากนั้นใช้เทคนิคผลต่างกำลังสอง คุณสามารถแยกย่อยพหุนามเป็น x (x – 2) (x + 2) เพิ่มเติมได้
ใช้คำตอบที่รู้จักเพื่อลดระดับของพหุนาม ตัวอย่างเช่น ให้ P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10 เนื่องจากไม่มี GCF หรือผลต่าง/ผลรวมของลูกบาศก์ คุณต้องใช้ข้อมูลอื่นเพื่อแยกตัวประกอบพหุนาม เมื่อคุณพบว่า P(c) = 0 คุณจะรู้ว่า (x – c) เป็นปัจจัยของ P(x) ตาม "ทฤษฎีบทปัจจัย" ของพีชคณิต ดังนั้น จงหาตัว "c" ดังกล่าว ในกรณีนี้ P(5) = 0 ดังนั้น (x – 5) จะต้องเป็นตัวประกอบ เมื่อใช้การหารสังเคราะห์หรือการหารยาว คุณจะได้ผลหารของ (x² + x – 2) ซึ่งแยกตัวประกอบเป็น (x – 1) (x + 2) ดังนั้น P(x) = (x – 5) (x – 1) (x + 2)